Système d'allumage classique : un exercice d'électricité concret
Ce deuxième exercice du sujet de rattrapage de Métropole 2007, noté sur 5,5 points, montre comment une batterie de 12 V peut produire une étincelle de plus de 10 000 V entre les bornes d'une bougie de moteur à essence. Il mobilise le dipôle RL, les équations différentielles du premier ordre puis le circuit LC et les oscillations électriques. Comptez environ 1 h 05 pour le traiter.
Partie 1 : le circuit primaire sans condensateur
Avec le rupteur fermé, la loi d'additivité des tensions, la loi d'Ohm et l'expression de la tension aux bornes d'une bobine donnent l'équation différentielle di1/dt + (r/L) i1 = E/L. Attention aux conventions : les flèches de tension sont en convention récepteur et les relations s'écrivent sans signe moins. En régime permanent, la dérivée est nulle, d'où r I1 = E et I1 = 2,0 A. Comme la tension du secondaire est proportionnelle à la dérivée de l'intensité, elle est nulle en régime permanent : aucune étincelle ne peut jaillir.
À l'ouverture du rupteur, la bobine s'oppose à la rupture du courant : l'intensité décroît de façon continue à partir de I1. Parmi les trois allures proposées, seule la décroissance exponentielle vers la valeur faible E/(R+r) convient ; la méthode consiste à tester la valeur initiale, la limite et la forme de la courbe. La lecture de la figure de l'annexe à 37 % de la valeur initiale, soit environ 5 500 V pour 15 000 V au départ, donne la constante de temps τ = 2,0 ms. On lit aussi que la tension repasse sous le seuil de 10 000 V vers 0,8 ms : il n'y a plus d'étincelle ensuite.
Partie 2 : le circuit avec condensateur
Le condensateur placé en dérivation sur le rupteur transforme le circuit en circuit RLC. Dans le cas idéal d'une résistance nulle, on dérive deux fois l'expression proposée de la charge, sans oublier le facteur 2π/γ, puis on la reporte dans l'équation différentielle. L'égalité doit être vraie à toute date, ce qui impose γ = 2π√(LC) : γ est la période propre des oscillations du circuit LC. On en déduit u2(t) = −A cos(2πt/γ) avec A positive, et une courbe sinusoïdale qui part de −A : le régime est périodique, sans amortissement.
Dans le cas réel, la figure montre un régime pseudo-périodique : l'amplitude décroît car l'énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance de la bobine. Le mot « périodique » serait ici une erreur. Enfin, la tension dépasse quatre fois le seuil de 10 000 V en valeur absolue : c'est l'origine du « train d'étincelles ».
Les pièges et les conseils
Soigne les conventions de signe, justifie le choix de courbe par plusieurs critères et nomme toujours la cause physique de l'amortissement. Pour les lectures graphiques, trace les constructions sur l'annexe. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue, les calculs posés et les pièges classiques signalés.