Une épreuve de rattrapage 2004 très complète

Le sujet du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2004 (ancien programme) se compose de trois exercices obligatoires et d'un exercice de spécialité, pour une épreuve de 3 h 30 notée sur 20 points. La chimie est représentée par une étude cinétique suivie par conductimétrie et par des questions de chimie organique sur les savons. La physique couvre l'électricité, avec un circuit RC puis un circuit RLC, et la mécanique, avec la chute d'une balle dans une huile. L'exercice de spécialité porte sur les cordes vibrantes et les sons musicaux. Le fil conducteur est la rigueur : conversions d'unités, lecture fine de graphiques et maîtrise des équations différentielles du premier ordre.

Cette page propose le sujet officiel et un corrigé détaillé, question par question, avec ce qu'il faut écrire sur sa copie, les pièges et les méthodes. Voici l'analyse de chaque exercice.

Exercice 1 : hydrolyse basique des esters (6,5 points)

Le suivi conductimétrique

Le premier exercice étudie l'hydrolyse basique du méthanoate d'éthyle par la soude. La conductance initiale s'écrit G₀ = (k/V) n₀ (λ_Na+ + λ_HO-) puisque aucun ion méthanoate n'est encore formé ; en unités du Système international, avec V = 2,00 × 10^-4 m³, on trouve G₀ = 2,49 mS. Le tableau d'avancement, dont les nombres stœchiométriques valent tous 1, permet d'exprimer la conductance à tout instant et de la mettre sous la forme G_t = a x + b.

Interpréter la relation affine

Le coefficient b est la conductance initiale G₀. Le coefficient a est négatif, car chaque ion hydroxyde consommé est remplacé par un ion méthanoate presque trois fois moins conducteur. La représentation de G_t en fonction de x est donc une droite décroissante qui ne passe pas par l'origine.

Vitesse et temps de demi-réaction

La courbe x(t) est croissante, de pente décroissante, et tend vers x_f = 2,00 mmol. La vitesse volumique de réaction, dérivée de l'avancement divisée par le volume, se détermine avec la tangente à la courbe ; elle diminue au cours du temps car les concentrations des réactifs baissent. Le temps de demi-réaction se lit pour x = 1,00 mmol : t_1/2 = 12 min. Le piège classique consiste à prendre la moitié de la dernière valeur mesurée au lieu de la moitié de l'avancement final.

Saponification et savons

La seconde partie demande de reconnaître les fonctions alcool, acide carboxylique et ester, puis d'écrire la saponification du palmitate d'hexadécyle, qui conduit au palmitate de sodium et à l'hexadécanol. L'ion carboxylate possède une tête hydrophile, le groupe –COO⁻, et une longue chaîne carbonée hydrophobe, ce qui explique l'action du savon.

Exercice 2 : réalisation artisanale d'un diapason électronique (4 points)

La charge du condensateur

Le deuxième exercice suit des élèves qui veulent émettre le la₃ à 440 Hz. On commence par la charge d'un condensateur : flèche de u en convention récepteur, branchement de l'oscilloscope avec la masse en B, relations i = dq_A/dt et q_A = C u, puis l'équation différentielle u + RC du/dt = E et sa solution u = E(1 − e^−t/(RC)). La constante de temps τ = RC est homogène à une durée ; on la lit à 63 % de E, soit 7,6 V, ce qui donne τ = 1,0 ms, conforme au calcul de RC. Le condensateur est considéré comme chargé au bout de 5τ, soit 5,0 ms.

Les oscillations libres

Le condensateur chargé est ensuite relié à la bobine. Le régime est pseudo-périodique et l'amortissement est dû au conducteur ohmique, qui dissipe l'énergie par effet Joule. La pseudo-période, mesurée entre deux passages par zéro dans le même sens, vaut T = 2,0 ms. L'amplitude décroît trop vite pour faire un diapason utilisable.

L'oscillateur entretenu

Un dispositif d'entretien compense les pertes d'énergie ; la tension devient sinusoïdale, d'amplitude 12 V et de période 2,0 ms. La formule de Thomson donne T₀ = 2,0 ms et f₀ = 5,0 × 10² Hz, qui ne correspond à aucune note de l'octave 3. Pour obtenir 440 Hz sans changer de condensateur, il faut une inductance L = 0,13 H. Réglée sur 232 mH, la bobine donne 3,3 × 10² Hz : le diapason émet un mi₃. Attention aux conversions : oublier de passer les millihenrys en henrys fausse la fréquence d'un facteur 32 environ.

Exercice 3 (spécialité) : produire des sons, écouter (4 points)

Modes propres d'une corde

L'exercice de spécialité commence par des expressions théoriques : T₀ = 2L/v pour un aller-retour, λ = v T, puis la condition T₀ = n × T qui caractérise une onde stationnaire. On en déduit λ = 2L/n et f_n = n v/(2L).

Exploiter les oscillogrammes

Sur la figure 1, trois périodes en 6,8 ms donnent T₁ = 2,3 ms et f₁ = 4,4 × 10² Hz ; avec la longueur L₁ = 68 cm, la vitesse de propagation vaut v = 6,0 × 10² m·s^-1. Sur la figure 2, neuf périodes donnent T₂ = 0,76 ms et f₂ = 1,3 × 10³ Hz, d'où une corde raccourcie à L₂ = 0,23 m. La vérification est immédiate : une fréquence triple correspond à une corde trois fois plus courte.

Fuseaux, hauteur et timbre

Il faut légender une corde à deux fuseaux (harmonique de rang 2, nœud au milieu, ventres au centre des fuseaux) puis dessiner l'harmonique 3, avec trois fuseaux, quatre nœuds et trois ventres. La dernière partie distingue la hauteur, mesurée par la fréquence du fondamental, et le timbre, qui dépend des harmoniques, de l'attaque et de l'extinction. Le son de la figure 3 a la même hauteur que celui de la guitare, 4,4 × 10² Hz, mais la comparaison des timbres reste limitée parce que la figure 1 a été filtrée.

Exercice 4 : détermination de la viscosité d'une huile moteur (5,5 points)

Dynamique de la chute

Le dernier exercice étudie une balle qui tombe dans une huile moteur. Le bilan des forces comprend le poids, la poussée d'Archimède et la force de frottement f = −k v_G. La deuxième loi de Newton conduit à dv_G/dt = A − B v_G, avec A = 1,27 m·s^-2. La courbe expérimentale montre un régime transitoire jusqu'à t ≈ 0,48 s environ, puis un régime permanent à la vitesse limite de 0,17 m·s^-1, où l'accélération est nulle.

Méthode d'Euler

Avec un pas de 0,080 s, on complète le tableau : v_G(0,24) = 0,159 m·s^-1, puis une accélération de 0,08 m·s^-2 à cette date. Les points calculés suivent bien les points expérimentaux, avec un palier à 16,9 cm·s^-1 contre 17 mesurés. Un pas plus petit améliorerait encore l'accord, et le modèle de frottement proportionnel à la vitesse est validé.

La formule de Stokes

En identifiant k = 6πηR et B = k/m, on obtient η = B m/(6πR) = 0,70 Pa·s : l'huile est une SAE 50. Les unités du Système international sont indispensables, faute de quoi le résultat est faux d'un facteur dix.

Les méthodes communes aux quatre exercices

Les équations différentielles du premier ordre

Deux exercices reposent sur la même structure mathématique. Dans le circuit RC, u + RC du/dt = E ; dans la chute de la balle, dv_G/dt = A − B v_G. Dans les deux cas, la grandeur tend vers une valeur limite (E pour la tension, A/B pour la vitesse) et la courbe présente un régime transitoire suivi d'un régime permanent. Savoir établir ces équations à partir d'une loi physique, loi d'additivité des tensions ou deuxième loi de Newton, puis vérifier une solution ou la construire pas à pas par la méthode d'Euler, rapporte une part importante des points.

La lecture de graphiques

Presque toutes les parties s'appuient sur une courbe : avancement en fonction du temps, charge du condensateur, oscillations amorties, oscillogrammes de la corde, vitesse de la balle. Les bons réflexes sont toujours les mêmes : repérer les unités des axes, mesurer sur plusieurs périodes plutôt qu'une seule, placer les points avec des croix et tracer une courbe lissée, laisser apparentes les constructions (tangente, asymptote, lecture à 63 %, demi-avancement).

Les unités du Système international

Volume en mètres cubes pour la conductance, inductance en henrys pour la fréquence, longueur en mètres pour la vitesse de l'onde, masse en kilogrammes pour la viscosité : chaque exercice contient une conversion qui, oubliée, fausse le résultat d'un facteur dix, mille ou plus. Un ordre de grandeur vérifié à la fin de chaque calcul évite ces erreurs.

Gestion du temps

Les durées conseillées sont proportionnelles au barème : environ 1 h 18 pour l'exercice 1, 52 minutes pour l'exercice 2, 52 minutes pour la spécialité et 1 h 05 pour l'exercice 4. Les questions de démonstration (expression de G₀, équation différentielle du circuit RC, relation f_n = n v/(2L), équation du mouvement de la balle) sont rapides si l'on connaît la méthode : traitez-les sans hésiter. Les lectures graphiques demandent du soin : mesurez plusieurs périodes, tracez les tangentes proprement et indiquez vos constructions sur les annexes, qui sont à rendre avec la copie. Gardez quelques minutes pour vérifier les unités, source d'erreurs dans chacun des quatre exercices.

Conclusion

Ce sujet de rattrapage 2004 est un excellent entraînement aux équations différentielles du premier ordre, présentes à la fois dans le circuit RC et dans la chute avec frottement, ainsi qu'à l'exploitation de courbes expérimentales. Même s'il relève de l'ancien programme, la plupart de ses questions restent d'actualité : cinétique, dipôles RC, oscillations, deuxième loi de Newton et méthode d'Euler. Faites-le d'abord en temps limité, puis reprenez le corrigé exercice par exercice pour repérer vos erreurs de méthode.