La Terre, une machine thermique alimentée par la radioactivité

L'exercice 3 du bac S Métropole 2008, noté sur 4 points (environ 52 minutes), part d'une question ancienne : pourquoi la Terre ne s'est-elle pas refroidie plus vite ? La réponse tient dans la radioactivité naturelle des noyaux d'uranium, de thorium et de potassium qu'elle contient. Les deux parties sont indépendantes : la première porte sur le potassium 40, la seconde sur la décroissance radioactive et l'évolution du manteau terrestre.

Partie 1 : le potassium 40

Le diagramme (N, Z)

Pour Z ≤ 20, les noyaux stables vérifient N = Z : on trace sur l'annexe la droite passant par l'origine et par le point (20 ; 20), sans la prolonger au-delà de Z = 20. On calcule ensuite le nombre de neutrons N = A − Z : le potassium 40 a N = 21, le calcium 40 a N = 20. Le calcium est sur la droite, donc stable ; le potassium est au-dessus, avec un excès de neutrons, donc instable. Le piège est de lire 40 comme un nombre de neutrons alors qu'il s'agit du nombre de nucléons.

Deux désintégrations

Pour la transformation du potassium 40 en calcium 40, on pose une particule inconnue et on écrit la conservation du nombre de nucléons puis celle de la charge : on trouve A = 0 et Z = −1, c'est un électron. La radioactivité est de type β⁻. Lorsque le potassium 40 donne de l'argon 40, la particule émise porte une charge +e et aucun nucléon : c'est un positon, radioactivité β⁺. Tout se joue sur le signe du nombre de charge.

Énergie libérée

La perte de masse vaut Δm = m(K) − m(Ar) − me = 2,69 × 10⁻³⁰ − 0,91 × 10⁻³⁰ ≈ 1,78 × 10⁻³⁰ kg. Avec E = Δm × c², on obtient environ 1,6 × 10⁻¹³ J, soit 1,0 MeV. Deux erreurs fréquentes : oublier la masse du positon, ce qui conduit à 2,4 × 10⁻¹³ J, et arrondir les masses des noyaux alors que leur différence porte sur les derniers chiffres.

Partie 2 : décroissance radioactive

Un phénomène spontané et aléatoire

La désintégration se produit sans intervention extérieure et on ne peut pas prévoir l'instant où un noyau donné se désintègre : les bonnes réponses sont spontanée et aléatoire. Seul le comportement d'un grand nombre de noyaux est prévisible.

Loi et courbe de décroissance

La loi s'écrit N(t) = N0 e^(−λt), avec λ en s⁻¹. La courbe est une exponentielle décroissante : N vaut N0/2 à t1/2, N0/4 à 2t1/2, N0/8 à 3t1/2, et s'approche de zéro sans l'atteindre. La pente de la tangente est la plus forte à l'origine : la décroissance est la plus rapide à t = 0, ce que confirme la relation dN/dt = −λN.

Uranium 238 et croissance des continents

Les trois quarts des noyaux ont disparu quand il en reste un quart, soit après deux demi-vies : Δt = 2 × 4,5 = 9,0 milliards d'années. Répondre 3/4 × 4,5 est une erreur, car la décroissance n'est pas proportionnelle au temps. Enfin, le texte indique que le matériel continental a intégré les noyaux radioactifs, appauvrissant le manteau : la croissance des continents explique une diminution plus rapide du nombre de noyaux radioactifs dans le manteau.

Conseils

Écrivez toujours les deux lois de conservation avant de nommer une particule, et raisonnez en nombre de demi-vies pour toute question de durée.