Dater le passé grâce à la radioactivité

L'exercice 3 du bac S Métropole 2006, noté sur 5,5 points (environ 1 h 05 conseillée), s'appuie sur un texte consacré au carbone 14 et à son usage en archéologie. Il couvre l'essentiel du chapitre sur la décroissance radioactive : composition des noyaux, équation de désintégration, caractère aléatoire du phénomène, loi de décroissance, demi-vie et datation, avant une ouverture sur la méthode potassium-argon.

Partie 1 : le carbone 14

Les noyaux de carbone 12 et 13 sont isotopes : même nombre de protons (Z = 6), nombres de neutrons différents. Le carbone 14 contient 6 protons et 8 neutrons ; on ne compte pas d'électrons, car la question porte sur le noyau. Les lois de conservation du nombre de nucléons et de la charge permettent d'écrire la désintégration en azote 14 avec émission d'un électron : c'est une radioactivité β^-.

Partie 2 : propriétés des désintégrations

Aléatoire pour un noyau, prévisible pour une population

L'annexe à compléter teste le vocabulaire : la désintégration d'un noyau est aléatoire, elle n'affecte pas celle de ses voisins, et un noyau « âgé » a autant de chances de se désintégrer qu'un noyau « jeune ». En revanche, l'évolution d'un grand nombre de noyaux est prévisible, ce qui fonde la loi de décroissance.

Choisir la bonne loi

Parmi trois expressions proposées, on retient N = N₀e^-λt en testant la valeur à t = 0 et la limite en l'infini : l'expression affine deviendrait négative, l'exponentielle croissante divergerait. L'activité initiale A₀ d'un gramme de carbone d'un être vivant vaut 13,6 désintégrations par minute, soit 0,227 Bq, et « l'âge zéro » correspond à la mort de l'organisme.

Partie 3 : datation au carbone 14

La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux s'est désintégrée. Il faut détailler la démonstration de λt_1/2 = ln 2, puis calculer λ = 1,21 × 10^-4 an^-1 en gardant la demi-vie en années. Pour Ötzi, avec une activité de 7,16 désintégrations par minute, la relation t = (1/λ)ln(A₀/A) donne environ 5 300 ans. Inverser le rapport des activités conduit à une durée négative, erreur fréquente. Enfin, un corail de 1,2 × 10⁵ ans dépasse largement la limite d'environ 40 000 ans indiquée par le texte : il ne peut pas être daté ainsi.

Partie 4 : choisir le radioélément

Après quatre demi-vies, il reste 1/2⁴ = 6,25 % des noyaux. L'âge de la Terre représente environ 3,5 demi-vies du potassium 40 : il reste environ 9 % des noyaux initiaux, au-dessus du seuil de 1 %, donc la méthode potassium-argon convient. L'idée générale à retenir : un radioélément permet de dater des âges allant jusqu'à quelques demi-vies.

Conseils pour réussir

Cet exercice est très accessible si le cours est su. Les points se perdent surtout sur les justifications incomplètes, les unités de λ et le sens des rapports dans les logarithmes. Rédigez chaque étape des démonstrations.