Un jouet d'enfant pour étudier l'oscillateur masse-ressort

Le premier exercice du bac S 2011 au Liban vaut 6 points, soit environ 1 h 18 sur une épreuve de 3 h 30. Il part d'un objet simple : une figurine accrochée à un ressort fixé au plafond. Frottements et poussée d'Archimède sont négligés, ce qui permet de parcourir tout le chapitre sur les oscillateurs mécaniques : mesure de période, équilibre, analyse dimensionnelle, exploitation d'un enregistrement vidéo et étude énergétique.

Mesurer une période

Écartée de sa position d'équilibre puis lâchée, la figurine effectue un mouvement rectiligne vertical, oscillant et périodique. La période est la plus petite durée au bout de laquelle elle repasse par la même position en se déplaçant dans le même sens : oublier cette dernière précision revient à ne compter qu'une demi-période. Les élèves chronomètrent 10 périodes, car l'incertitude due au déclenchement à la main est la même pour une ou dix oscillations : on obtient T0 = 1,38 s.

Équilibre et constante de raideur

À l'équilibre, la masse marquée subit son poids, vertical vers le bas, et la force de rappel du ressort, verticale vers le haut. La première loi de Newton donne m g = k (L - L0), d'où k = m g / (L - L0). Avec 20,0 g et un allongement de 14,6 cm, on trouve k ≈ 1,3 N/m. Le piège classique consiste à laisser la masse en grammes ou les longueurs en centimètres.

Influence de la masse et analyse dimensionnelle

Le tableau montre que la période augmente avec la masse, sans proportionnalité : doubler la masse de 20,0 g à 40,0 g fait passer T0 de 0,78 s à 1,10 s seulement. Une analyse des unités élimine les expressions (a) et (b) et retient T0 = 2π√(m/k). On en déduit la masse de la figurine, environ 65 g, valeur cohérente avec le tableau puisque 1,38 s se situe entre les périodes mesurées pour 60 g et 70 g.

Lire l'enregistrement

La courbe z(t) donne une amplitude de 0,070 m et une période proche de 1,4 s, en accord avec le chronométrage. La vitesse à t = 0,24 s s'estime par la vitesse moyenne entre les deux dates encadrantes : environ -0,29 m/s, le signe indiquant une descente. En dérivant z(t), on obtient vz(t), une sinusoïde de même période qui part de zéro et commence par décroître. La condition initiale z(0) = zm impose une phase à l'origine nulle.

Courbes d'énergie

Comme la vitesse est nulle à t = 0, l'énergie cinétique y est nulle : c'est la courbe 2. Les énergies ont une période d'environ 0,7 s, la moitié de celle de l'oscillateur, car l'énergie cinétique s'annule deux fois par oscillation. Enfin, les maximums des deux courbes ne diminuent pas : l'énergie mécanique se conserve, les frottements sont bien négligeables.

Conseils

Soignez les conversions d'unités avant chaque application numérique, justifiez toujours le choix d'une formule par les unités, et lisez les graphes avec la précision qu'ils permettent. C'est un exercice idéal pour vérifier que les bases de mécanique sont solides.