Mesurer la raideur d'un ressort par une étude statique puis dynamique
Cet exercice de 4 points du Bac S Amérique du Nord 2011 reproduit une séance de travaux pratiques : un solide de masse m est accroché à un ressort vertical, et l'on cherche la constante de raideur k par deux méthodes indépendantes. Le grand intérêt de l'exercice est de montrer qu'une étude à l'équilibre et une étude des oscillations conduisent au même résultat, ce qui valide les mesures. Les calculs sont courts, mais la rigueur de la rédaction et le soin des lectures graphiques font la différence.
Étude statique : de l'équilibre à la valeur de k
La question 1.1 définit l'allongement ℓ0 = Le − L0. Le piège est d'inverser les termes : le ressort chargé est plus long qu'à vide, l'allongement doit être positif. La question 1.2 demande une justification complète : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces, puis première loi de Newton. En projetant sur l'axe vertical orienté vers le bas, on obtient m g = k ℓ0, soit ℓ0 = (g/k) m.
La question 1.3 exploite la figure 1 de l'annexe. Les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, ce qui confirme la proportionnalité. Le coefficient directeur vaut 20,2 × 10⁻² / 100 × 10⁻³ = 2,02 m·kg⁻¹, d'où k = 9,8 / 2,02 ≈ 4,9 N·m⁻¹. Le corrigé insiste sur les puissances de dix des axes, gradués en 10⁻³ kg et en 10⁻² m : les oublier fausse le résultat d'un facteur 10. Le résultat garde deux chiffres significatifs, comme g.
Étude dynamique : période propre et oscillations amorties
La question 2.1.1 fait identifier T0 comme la période propre de l'oscillateur. La démonstration de T0 = 2π√(m/k) en 2.1.2 est un classique : on dérive deux fois la solution proposée, on remplace dans l'équation différentielle et l'on cherche la condition qui rend l'égalité vraie à tout instant. L'erreur fréquente est d'oublier le facteur 2π/T0 qui sort à chaque dérivation.
Les questions 2.2.1 à 2.2.3 sont qualitatives. L'amplitude diminue à cause des frottements de l'air, qui dissipent l'énergie mécanique. La pseudo-période reste très proche de T0 lorsque l'amortissement est faible. Pour mesurer T avec précision, on chronomètre un grand nombre d'oscillations puis on divise : l'erreur de déclenchement du chronomètre est alors divisée par N. Le corrigé conseille aussi de repérer les passages par la position d'équilibre, où le solide va le plus vite.
Choisir la bonne représentation graphique
La question 2.2.4 est la plus riche. Puisque T0² = (4π²/k) m, c'est la figure 2c, représentant T0² en fonction de m, qui donne une droite passant par l'origine. Avec un coefficient directeur de 0,80 / 100 × 10⁻³ = 8,0 s²·kg⁻¹, on trouve k = 4π² / 8,0 ≈ 4,9 N·m⁻¹, exactement la valeur de l'étude statique. Choisir la figure 2a, où T0 est porté directement, mène à une courbe inexploitable simplement.
Nos conseils
Rédigez systématiquement le plan d'étude mécanique, tracez vos droites à la règle et prenez deux points éloignés pour calculer une pente. Enfin, comparez toujours deux résultats obtenus par des méthodes différentes : leur accord est un argument que le correcteur apprécie.