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Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Éris, Pluton et lois de Kepler - Bac S Liban 2009 (ancien programme) - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2009
Bac S (ancien programme)
Pluton a perdu son statut de planète après la découverte d'Éris : cet exercice du bac S 2009 Liban explique pourquoi, en 5 points et environ 1 h 05.
- Troisième loi de Kepler : énoncé précis et position de l'orbite d'Éris par rapport à celle de Pluton.
- Mouvement de Dysnomia : référentiel, accélération centripète et période de révolution du satellite d'Éris.
- Masse d'Éris : calcul grâce à son satellite, puis comparaison avec la masse de Pluton.
Sujet officiel et corrigé détaillé question par question, avec le schéma complété, en PDF gratuit.
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Éris, Dysnomia et la fin de la neuvième planète
Cet exercice du bac S 2009 Liban, noté sur 5 points pour une durée conseillée de 1 h 05, s'appuie sur une histoire récente de l'astronomie : la découverte d'Éris en 2005 et la décision de l'Union astronomique internationale, en 2006, de classer Pluton parmi les planètes naines. Il mobilise la troisième loi de Kepler et la deuxième loi de Newton appliquée à un mouvement circulaire uniforme.
Orbite d'Éris
Énoncer la troisième loi de Kepler
Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport du carré de la période de révolution au cube du demi-grand axe de l'ellipse est constant : T2/a3 = k, où k ne dépend que du Soleil. Deux erreurs sont fréquentes : parler de « rayon » alors que l'orbite est elliptique, et inverser les exposants.
Au-delà de Pluton
Éris et Pluton tournant autour du même astre, la loi de Kepler leur attribue la même constante. La période d'Éris, environ 557 ans, étant supérieure à celle de Pluton, 248 ans, son demi-grand axe est plus grand : l'orbite d'Éris se situe au-delà de celle de Pluton. La période de la Terre, donnée dans l'énoncé, ne sert pas ici.
Mouvement de Dysnomia
Référentiel et accélération
Le mouvement de Dysnomia s'étudie dans un référentiel centré sur Éris et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines, considérées comme fixes : c'est l'équivalent, pour Éris, du référentiel géocentrique. Seule l'attraction gravitationnelle d'Éris agit ; la deuxième loi de Newton donne a = −(GME/RD2) uED. Le signe moins traduit le fait que le vecteur unitaire va de E vers D alors que la force attire le satellite vers Éris. L'accélération est donc radiale et centripète, et la masse du satellite se simplifie.
Période de révolution
Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération vaut v2/RD. En l'égalant à GME/RD2, on obtient la vitesse, puis la période TD = 2πRD/v = 2π√(RD3/(GME)). En élevant au carré, le rapport TD2/RD3 = 4π2/(GME) ne dépend que d'Éris : on retrouve la troisième loi de Kepler, le rayon du cercle jouant le rôle du demi-grand axe.
Masse d'Éris et statut de Pluton
Peser un astre grâce à son satellite
L'expression précédente donne ME = 4π2RD3/(GTD2). Avec RD = 3,60 × 107 m et TD = 1,30 × 106 s, on trouve ME = 1,63 × 1022 kg. La période doit être convertie en secondes, et il ne faut oublier ni le cube ni le carré. Observer le rayon et la période de l'orbite d'un satellite suffit ainsi à déterminer la masse de l'astre autour duquel il tourne.
Une planète naine
Le rapport ME/MP vaut environ 1,24 (1,25 avec la valeur non arrondie) : Éris est un peu plus massive que Pluton. Si Pluton était une planète, Éris devrait l'être aussi, comme d'autres astres similaires découverts à la même époque. Il fallait soit allonger la liste des planètes, soit retirer ce statut à Pluton, désormais classée planète naine comme Éris.
Conseils
Apprenez l'énoncé exact des lois de Kepler, vérifiez le signe de chaque vecteur et convertissez toutes les données en unités du Système international avant le calcul numérique.