Deux satellites, deux orbites

L'exercice 4 du Bac S Amérique du Sud 2007 (ancien programme) vaut 5 points, soit environ 1 h 05. Il compare ENVISAT, satellite circumpolaire en orbite basse, et METEOSAT 8, satellite géostationnaire, puis étudie l'orbite de transfert elliptique utilisée pour sa mise en place. C'est un exercice complet sur la gravitation, la deuxième loi de Newton et les lois de Kepler.

Partie 1 : ENVISAT, satellite circumpolaire

Questions 1.1 et 1.2 : force et accélération

La force gravitationnelle est portée par la droite reliant les centres, dirigée vers la Terre. Avec un vecteur unitaire orienté de la Terre vers le satellite, elle s'écrit avec un signe moins, et la distance au dénominateur est R + h et non h. Le calcul, distances en mètres, donne F = 6,34 × 10⁴ N. La deuxième loi de Newton dans le référentiel géocentrique conduit à une accélération GM/(R + h)² dirigée vers le centre de la Terre, indépendante de la masse du satellite.

Questions 1.3 à 1.6 : vitesse et période

Sur la figure, les trois vecteurs accélération ont la même longueur et pointent vers le centre de la Terre : l'altitude est constante. En égalant l'accélération centripète v²/(R + h) et la valeur trouvée en 1.2, on obtient v = √(GM/(R + h)). Numériquement, v = 7,45 km·s^-1, en pensant à diviser par 1 000. La période vaut T = 2π(R + h)/v = 6,05 × 10³ s, soit environ 1 h 41 min.

Partie 2 : METEOSAT 8, satellite géostationnaire

Questions 2.1 à 2.3

Un satellite géostationnaire décrit une orbite circulaire dans le plan de l'équateur, dans le même sens que la rotation de la Terre, avec une période de 1 436 min. En combinant les résultats de la partie 1, la constante de la troisième loi de Kepler vaut K = 4π²/(GM) = 9,90 × 10^-14 s²·m^-3. On en déduit R + H = 4,22 × 10⁴ km et une altitude H = 3,58 × 10⁴ km, voisine des 36 000 km annoncés. Le piège est de donner R + H comme altitude, ou de garder la période en minutes.

Questions 2.4.1 et 2.4.2 : l'orbite de transfert

Le grand axe de l'ellipse traverse la Terre : il vaut l'altitude du périgée, plus le diamètre terrestre, plus l'altitude de l'apogée, soit 48 960 km, d'où r = 24 480 km. La troisième loi de Kepler, avec la même constante K, donne une période d'environ 3,81 × 10⁴ s, soit 10 h 35 min, plus courte que celle de l'orbite géostationnaire.

Conseils

Travaillez en unités SI, distinguez rayon de l'orbite et altitude, et n'oubliez pas le diamètre de la Terre dans le grand axe. Le corrigé détaille chaque étape avec les pièges et les méthodes.