Un grand classique de mécanique : le tir d'un projectile

Cet exercice de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, est l'exercice 2 du sujet, commun à tous les candidats. Le trébuchet, machine de guerre du Moyen Âge, lance un projectile de 130 kg depuis une hauteur de 10 m. L'énoncé déroule toute la démarche de la mécanique de Newton : bilan des forces, accélération, vitesse, équations horaires, trajectoire, puis exploitation numérique sans calculatrice.

Forces et modèle de la chute libre

Poids et poussée d'Archimède

Le poids vaut 1,3 × 10^3 N, vertical et vers le bas. La poussée d'Archimède, verticale vers le haut, vaut 6,5 × 10^-1 N : elle fait intervenir la masse volumique de l'air et le volume du projectile, qu'il faut convertir de litres en mètres cubes. Oublier cette conversion est le piège principal de la question.

Négliger la poussée d'Archimède

Le rapport des deux forces vaut environ 2,0 × 10^3 : le poids est deux mille fois plus grand, la poussée d'Archimède est donc négligeable. La méthode à retenir est de comparer les forces par leur rapport plutôt que par leur différence.

Deuxième loi de Newton et vitesse

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le projectile n'est soumis qu'à son poids : l'accélération est égale au champ de pesanteur, d'où ax = 0 et az = -g. Le signe dépend de l'orientation de l'axe Oz vers le haut, à préciser sur la copie. Les coordonnées de la vitesse initiale se lisent dans le triangle formé par le vecteur vitesse et ses projections : v0 cos α et v0 sin α. En cherchant les primitives et en utilisant les conditions initiales, on obtient vx constante et vz = -g t + v0 sin α. La composante horizontale ne dépend pas du temps : le mouvement projeté sur l'axe horizontal est uniforme.

Équations horaires et trajectoire

Une seconde intégration donne x(t) et z(t). La constante de z(t) vaut H, car le projectile part du point situé à la hauteur H sur l'axe Oz, et non de l'origine. En éliminant le temps entre les deux équations, on retrouve l'équation de trajectoire de l'énoncé : z est une fonction polynôme du second degré de x, la trajectoire est une portion de parabole tournée vers le bas. Sur l'annexe, l'allure doit partir du point de lancement, tangente au vecteur vitesse initiale, monter jusqu'à un sommet puis redescendre jusqu'au sol.

Paramètres de lancement et portée

L'équation de la trajectoire ne contient ni la masse du projectile ni aucune autre grandeur propre au projectile : les paramètres de lancement sont la vitesse initiale, l'angle de tir et la hauteur de lancement. Pour un tir horizontal, l'angle est nul et l'abscisse du point de chute vaut v0 multiplié par la racine de 2H/g. Pour atteindre un mur situé à 100 m, il faut isoler v0 puis utiliser l'aide au calcul : v0 vaut environ 71 m/s, soit à peu près 260 km/h.

Conseils

Précisez toujours le système, le référentiel et l'orientation des axes avant d'appliquer la deuxième loi de Newton. Vérifiez l'homogénéité de vos expressions : c'est le meilleur moyen de repérer une fraction inversée sous une racine.