Les ondes gravitationnelles : ce que demande l'exercice

L'exercice 2 du Bac S Asie 2017, noté sur 6 points, s'appuie sur la première détection d'ondes gravitationnelles, le 14 septembre 2015. Il se divise en deux parties. La première exploite les signaux reçus par les deux détecteurs américains pour localiser la source. La seconde modélise les deux trous noirs, de même masse, tournant sur une même orbite circulaire avant de fusionner. C'est un exercice de mécanique classique : gravitation universelle, deuxième loi de Newton, mouvement circulaire uniforme et troisième loi de Kepler.

Les passages clés, question par question

Partie 1 : localiser la source

La question 1.1 se règle sans calcul : les ondes voyagent à la célérité de la lumière et ont été émises il y a 1,3 milliard d'années, la source est donc à 1,3 milliard d'années-lumière. En 1.2, il faut d'abord exclure la direction 2, celle de la droite Livingston-Hanford : les ondes parcourraient alors 3000 km de plus, soit un retard de 10 ms, supérieur aux 7 ms mesurées. Un retard de 7 ms correspond à un trajet supplémentaire de 2,1 × 10³ km. On trace le front d'onde passant par Livingston, perpendiculaire à la direction de propagation, et on mesure sa distance à Hanford : environ 2,2 × 10³ km pour la direction 1 (7 ms) et 2,7 × 10³ km pour la direction 3 (9 ms). La direction 1 est retenue.

Partie 2 : deux trous noirs en orbite

Les deux trous noirs sont diamétralement opposés : leur distance vaut 2r, d'où une force de valeur G m² / (4 r²) dirigée vers le centre O. La deuxième loi de Newton appliquée à un trou noir donne une accélération centripète ; l'absence de composante tangentielle montre que le mouvement est uniforme, et l'égalité v² / r = G m / (4 r²) conduit à v = (1/2) √(G m / r). Avec v = 2πr / T, on obtient r³ = G m T² / (16 π²), une forme de la troisième loi de Kepler. Quand r diminue, la période diminue et la fréquence des ondes, double de la fréquence de révolution, augmente. Enfin, pour deux trous noirs de 30 masses solaires tournant à 75 tours par seconde, on trouve r ≈ 1,7 × 10⁵ m et v ≈ 7,8 × 10⁷ m/s, très proche de c / 4 = 7,5 × 10⁷ m/s : l'écart n'est que de 4 %.

Les pièges à éviter

Le piège central de l'exercice est la confusion entre le rayon de l'orbite r et la distance entre les trous noirs 2r. Écrire r² dans la force, ou v² / (2r) dans l'accélération, fait disparaître le facteur 1/2 attendu. En 1.2, utiliser 3000 km pour toutes les directions est une erreur : cette distance n'est le trajet supplémentaire que pour une propagation le long de la droite des détecteurs. En 2.5, la cadence de 75 tours par seconde est une fréquence de révolution : la période vaut 1/75 s, et non 75 s.

Conseils pour réussir

Pour toute question de mécanique, suivez la même trame : système, référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton, puis expression de l'accélération dans le repère de Frenet. Faites un schéma propre qui fait apparaître O, les deux trous noirs et la force. Dans les calculs numériques, gardez la valeur non arrondie de r en mémoire avant de calculer la vitesse, et présentez le résultat avec deux chiffres significatifs, comme la donnée de 75 tours par seconde.