Un exercice de radioactivité de l'ancien bac S

Cet exercice de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, est l'exercice 3 du sujet obligatoire. Il commence par des questions de cours sur les noyaux et se termine par une application concrète : dater une poutre en bois retrouvée dans une tombe de Saqqarah. La calculatrice est interdite, mais l'énoncé fournit des aides au calcul dont il faut savoir choisir la bonne.

Partie 1 : équation de désintégration et diagramme (Z, N)

Les types de radioactivité

Le texte évoque les radioactivités bêta moins et bêta plus : celle qui manque est la radioactivité alpha, avec émission d'un noyau d'hélium 4, formé de 2 protons et 2 neutrons. Répondre « un atome d'hélium » ou citer le rayonnement gamma, déjà mentionné dans le texte, ne rapporte pas les points.

La vallée de stabilité

La zone grisée regroupe les noyaux stables. Le corrigé rappelle qu'au-dessus se trouvent les noyaux trop riches en neutrons, émetteurs bêta moins, et au-dessous les émetteurs bêta plus.

Les lois de Soddy

Pour la désintégration du samarium 148 en néodyme 144, la conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge donne A = 4 et Z = 2 : la particule émise est un noyau d'hélium et la désintégration est de type alpha. Le piège consiste à parler de « conservation de la masse » : seuls A et Z se conservent.

Partie 2 : formation du carbone 14

L'azote 14 et le carbone 14 ont le même nombre de nucléons mais des numéros atomiques différents (7 et 6) : ils ne sont pas isotopes, car des isotopes ont le même Z. La réaction entre un neutron et un noyau d'azote 14, qui libère un proton, conduit bien par les lois de conservation à un noyau de carbone 14.

Partie 3 : décroissance du carbone 14

La constante λ est la constante radioactive. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés. En écrivant N(t1/2) = N0/2 dans la loi de décroissance, on isole l'exponentielle et l'on prend le logarithme : λ t1/2 = ln 2. L'analyse dimensionnelle montre que λ est l'inverse d'un temps. On établit ensuite A = λN en interprétant l'activité comme le nombre de désintégrations par unité de temps, sans oublier le signe moins devant ΔN. Le calcul du nombre de noyaux de carbone 14 dans un gramme de carbone donne 5,88 × 10^10 noyaux, à condition d'exprimer la demi-vie en minutes puisque l'activité est donnée par minute.

Partie 4 : datation de la tombe

La relation t = (t1/2 / ln 2) × ln(A0/A) se démontre en isolant l'exponentielle dans A = A0 e^(-λt). L'application numérique donne 5816 ans, soit environ 5,82 × 10^3 ans avec trois chiffres significatifs. Choisir l'aide au calcul négative serait absurde : comme A0 est supérieur à A, le logarithme est positif. Un contrôle rapide confirme l'ordre de grandeur : l'activité mesurée vaut presque la moitié de l'activité initiale, donc l'âge est un peu supérieur à une demi-vie.

Conseils

Dans un exercice sans calculatrice, posez d'abord le calcul littéral, puis repérez parmi les aides celle qui correspond exactement à votre expression. Surveillez les unités de temps, car elles décident de l'aide à utiliser.