Le saut à l'élastique : chute avec frottement et oscillations

Le deuxième exercice du bac S 2011 de Pondichéry vaut 5 points. Il part d'un rite de l'île de Pentecôte, au Vanuatu, pour étudier les deux phases d'un saut à l'élastique : une chute avec frottement de l'air, puis des oscillations verticales. C'est un exercice très classique de mécanique, où la rigueur de la rédaction rapporte autant que les calculs.

La poussée d'Archimède et l'analyse dimensionnelle

On compare d'abord la poussée d'Archimède au poids. La poussée fait intervenir le fluide déplacé, c'est-à-dire l'air, et le volume du sauteur : Π = ρVg = 3,2 N, contre un poids de 8,2 × 10² N. Le rapport d'environ 260 justifie de la négliger dans toute la suite. Le piège est d'utiliser la masse du sauteur dans l'expression de Π. Vient ensuite l'unité de la constante μ du frottement f = μv² : en décomposant le newton en unités de base, on trouve des kg·m⁻¹. S'arrêter à des N·s²·m⁻² ne suffit pas.

Deuxième loi de Newton et équation différentielle

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le bilan se réduit au poids et au frottement. La projection sur un axe vertical orienté vers le bas donne P − f = ma_x. En divisant par m, on obtient l'équation de la forme demandée, avec A = g et B = μ/m. Oublier cette division empêche d'identifier correctement les constantes. L'application numérique confirme B = 9,3 × 10⁻³ m⁻¹, et l'analyse des unités montre que chaque terme de l'équation est une accélération.

Vitesse limite et méthode d'Euler

Quand la vitesse limite est atteinte, sa dérivée est nulle, d'où v_lim = √(mg/μ) = 32 m·s⁻¹, soit environ 117 km·h⁻¹. La racine carrée est indispensable puisque le frottement varie comme le carré de la vitesse. La méthode d'Euler se lit dans un extrait de feuille de calcul : le pas est l'écart entre deux dates successives, 0,20 s. Pour la vitesse manquante à 0,80 s, on calcule l'accélération à 0,60 s avec la vitesse de cette date, 5,85 m·s⁻¹, puis on la multiplie par le pas. On trouve 7,75 m·s⁻¹, valeur qui s'intercale bien entre les voisines du tableau.

Les oscillations de la seconde phase

Le sauteur effectue quatre allers et retours en 40 s sans apport extérieur, avec une amplitude qui décroît : ce sont des oscillations libres amorties, caractérisées par une pseudo-période T = 10 s. Parler de période est une imprécision sanctionnée. En assimilant l'élastique à un ressort, la période propre vaut T₀ = 2π√(m/k) = 9,34 s. La pseudo-période est plus grande : l'écart traduit l'amortissement dû aux frottements de l'air.

Conseils

Écris toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant la loi de Newton, contrôle l'homogénéité de chaque expression littérale et présente le calcul d'Euler étape par étape.