L'épreuve de physique-chimie du bac S 2008 en Polynésie

Cette épreuve écrite de 3 h 30 relève de l'ancien programme de terminale S. L'écrit était noté sur 16 points : l'exercice I de chimie compte 7 points, l'exercice II de mécanique 5 points et l'exercice III sur la radioactivité 4 points. Les élèves de spécialité traitaient, à la place de l'exercice III, un exercice de spécialité de 4 points consacré ici à la lunette astronomique. Le corrigé complet reprend les quatre exercices, ce qui permet de s'entraîner quel que soit l'enseignement suivi. L'ensemble balaie des chapitres centraux : réactions acido-basiques et titrage, deuxième loi de Newton avec frottement fluide, désintégrations et décroissance radioactive, et optique géométrique.

Le sujet est accessible : la plupart des questions sont des applications directes du cours, mais elles demandent des justifications rédigées et des applications numériques soignées. C'est un très bon sujet pour vérifier que les méthodes de base sont acquises.

Exercice I : à propos des acides chlorhydrique et éthanoïque (7 points)

Parties 1 et 2 : acide fort et acide faible

Un acide au sens de Brønsted est une espèce chimique susceptible de céder un proton H⁺. Les deux solutions ont la même concentration c = 1,00 × 10^-2 mol·L^-1, mais des pH de 2,0 et 3,4. On en déduit [H₃O⁺] = 10^-pH, soit 1,0 × 10^-2 et 4,0 × 10^-4 mol·L^-1. Le tableau d'avancement donne x_max = cV et x_f = 10^-pH V, d'où τ = 10^-pH/c. On trouve τ₁ = 1,0 : la réaction du chlorure d'hydrogène avec l'eau est totale ; et τ₂ = 4,0 × 10^-2 : celle de l'acide éthanoïque est très limitée.

Partie 3 : la dilution

Pour diluer 10 fois avec précision, on prélève 10,0 mL de solution mère à la pipette jaugée et on complète à 100 mL dans une fiole jaugée. Après dilution, la concentration en ions oxonium est divisée par 10 pour l'acide chlorhydrique, mais seulement par 3 environ pour l'acide éthanoïque. Le taux d'avancement de ce dernier passe de 0,040 à 0,13 : l'équilibre s'est déplacé dans le sens direct, une plus grande proportion d'acide ayant réagi.

Partie 4 : la constante d'acidité

Le tableau d'avancement montre que [CH₃COO^-] = [H₃O⁺] et que [CH₃COOH] = c − 10^-pH. L'expression demandée vaut alors 1,7 × 10^-5. Comme on retrouve la même valeur après dilution, elle ne dépend pas de la concentration : c'est la constante d'acidité K_A du couple, soit un pK_A voisin de 4,8.

Partie 5 : le titrage du vinaigre

L'équation du titrage s'écrit CH₃COOH + HO^- → CH₃COO^- + H₂O ; elle doit être totale et rapide. À l'équivalence, c₁ V₁ = c_B V_BE, d'où c₁ = 0,119 mol·L^-1 et, pour le vinaigre non dilué, c₀ = 1,19 mol·L^-1. Un litre de vinaigre contient donc 71,4 g d'acide, soit un volume de 68,0 mL d'acide pur. Le rapport massique vaut 7,00 % et le rapport volumique 6,80 % : le degré d'acidité est un pourcentage massique. Pour confirmer par un titrage colorimétrique, la phénolphtaléine est le seul indicateur dont la zone de virage, 8,2 à 10,0, contient le pH à l'équivalence de 8,4.

Exercice II : chute verticale d'un ballon (5 points)

Partie 1 : l'équation différentielle du mouvement

Le système subit trois forces : son poids P = M g vers le bas, la poussée d'Archimède Π = ρ V g vers le haut, égale au poids de l'air déplacé, et la force de frottement fluide f = k v_G² opposée au mouvement. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe vertical orienté vers le bas, donne M dv_G/dt = M g − ρ V g − k v_G². En divisant par M, on identifie A = g (1 − ρV/M) et B = k/M. L'application numérique donne A = 6,45 m·s^-2, qui a la dimension d'une accélération. Quand la vitesse limite est atteinte, la dérivée est nulle, d'où B = A/v_l² = 0,853 m^-1.

Partie 2 : la feuille de calculs du tableur

La règle de 1,00 m sert d'étalon : elle permet au logiciel de convertir les distances mesurées sur l'image en distances réelles. Elle doit être dans le même plan que la trajectoire. La vitesse expérimentale à t = 0,200 s s'obtient comme une vitesse moyenne entre les deux dates qui l'encadrent : (0,184 − 0,092)/(0,240 − 0,160) = 1,15 m·s^-1. La méthode d'Euler consiste à calculer la nouvelle vitesse à partir de l'ancienne et de l'accélération donnée par l'équation différentielle : v(t₆) = 1,00 + (6,45 − 0,853 × 1,00²) × 0,040 = 1,22 m·s^-1, une valeur compatible avec la mesure compte tenu de l'imprécision du pointage.

Partie 3 : la courbe v = f(t)

La courbe part de l'origine, croît de moins en moins vite et tend vers l'asymptote horizontale v = v_l = 2,75 m·s^-1. Le temps caractéristique τ est l'abscisse du point où la tangente à l'origine coupe cette asymptote ; on retrouve τ = v_l/A = 0,43 s. On distingue le régime transitoire, où la vitesse augmente, du régime permanent, où elle est constante. L'accélération étant la dérivée de la vitesse, elle se lit comme le coefficient directeur de la tangente : elle diminue pendant le régime transitoire et devient nulle en régime permanent, où le mouvement est rectiligne uniforme.

Exercice III : à propos de la radioactivité (4 points)

Partie 1 : la radioactivité bêta moins

Un noyau radioactif est un noyau instable qui se transforme spontanément en un autre noyau en émettant une particule, souvent accompagnée d'un rayonnement gamma. Le potassium 40 a pour numéro atomique Z = 19 : il contient 19 protons et 40 − 19 = 21 neutrons. Pour écrire l'équation, on applique les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge : l'électron emporte une charge −1, donc le noyau fils a Z = 20, c'est le calcium 40. La dernière question est un piège de vocabulaire : le calcium et le potassium n'ont pas le même numéro atomique, ce ne sont donc pas des isotopes.

Partie 2 : la radioactivité alpha

L'énergie libérée provient de la perte de masse : E = [m(Ra) − m(Rn) − m(He)] × c². La perte de masse vaut 5,22 × 10^-3 u ; convertie en kilogrammes, elle donne E = 7,80 × 10^-13 J, soit 4,88 MeV. Comparée à la valeur de 4,6 MeV du texte, l'écart relatif est de 6,1 %, bien inférieur aux 7 % annoncés. L'erreur la plus fréquente consiste à oublier de convertir l'unité de masse atomique en kilogrammes avant de multiplier par c².

Partie 3 : le curie

L'unité légale d'activité est le becquerel, qui correspond à une désintégration par seconde. Un curie, défini comme 37 milliards de désintégrations par seconde, vaut donc 3,7 × 10¹⁰ Bq. On retrouve cette valeur par le calcul : le nombre de noyaux d'un échantillon de masse m est N = m N_A/M, d'où A = λ m N_A/M. Pour un gramme de radium 226, l'application numérique donne 3,7 × 10¹⁰ Bq, en accord avec la définition. Il faut garder m en grammes avec M en g/mol, et λ en s^-1 pour obtenir des becquerels.

Partie 4 : corriger la datation

La loi de décroissance s'écrit A = A₀ e^−λt avec λ = ln 2 / t_1/2. En isolant l'activité initiale, on obtient A₀ = A e^{(ln 2 / t_1/2) t}. Pour un anneau de 1570 ans et une demi-vie de 5,73 × 10³ ans, A₀ = 1,21 A. Le rapport t/t_1/2 étant sans unité, aucune conversion en secondes n'est nécessaire.

Exercice de spécialité : lunette astronomique d'amateur (4 points)

Partie 1 : vérifier les distances focales

Le Soleil est un objet à l'infini : dans la relation de conjugaison, le terme 1/OA tend vers zéro, et l'image se forme dans le plan focal image de l'objectif. La distance objectif-écran vaut donc f'₁ = 1,15 m. Pour l'oculaire, trop court pour cette méthode, on utilise la méthode de Silbermann : l'image A'B' est renversée et de même taille que l'objet. Le rayon BB' passe par le centre optique, situé au milieu de [AA'] ; le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par le foyer image. On lit sur la construction que AA' = 4 f'₂, d'où f'₂ = 10,0 / 4 = 2,50 cm, soit 25,0 mm : la valeur du constructeur est confirmée.

Partie 2 : le grossissement de la lunette

L'image intermédiaire A₁B₁ d'un objet à l'infini se forme dans le plan focal image de l'objectif ; elle est renversée. La lunette étant afocale, ce plan est aussi le plan focal objet de l'oculaire : l'image définitive A'B' est rejetée à l'infini, ce qui permet d'observer sans accommoder. Pour tracer le rayon émergent, on utilise un rayon fictif passant par B₁ et le centre optique O₂ : tous les rayons issus de B₁ ressortent parallèles à lui. Les triangles rectangles O₁A₁B₁ et O₂A₁B₁ donnent alors G = f'₁/f'₂ = 1,15 / (25 × 10^-3) = 46. Comme G est inversement proportionnel à f'₂, un grossissement plus faible demande un oculaire de distance focale supérieure à 25 mm.

Partie 3 : le cercle oculaire

Le cercle oculaire est l'image de la monture de l'objectif donnée par l'oculaire. On le construit en traçant, pour chaque bord de l'objectif, le rayon passant par O₂ et le rayon passant par le foyer objet F₂, qui ressort parallèle à l'axe. Par des considérations de triangles, on obtient d = D₁ × f'₂/f'₁ = 40 × 25 / 1150, soit environ 0,87 mm. Toute la lumière qui traverse la lunette passe par ce petit disque : l'œil doit s'y placer, et la pupille doit avoir un diamètre au moins égal à 0,87 mm pour recevoir le maximum de lumière.

Gérer son temps sur l'épreuve

Le barème guide la répartition du temps : environ 1 h 30 pour l'exercice I de chimie, 1 h 05 pour la chute du ballon et 52 minutes pour l'exercice III ou l'exercice de spécialité. Commence par lire l'ensemble du sujet pendant quelques minutes et repère les parties indépendantes : l'exercice de radioactivité en compte quatre, ce qui permet de gagner des points même en cas de blocage. Dans l'exercice de chimie, les dernières questions sur le titrage du vinaigre peuvent se traiter sans avoir terminé les précédentes, car les données nécessaires sont fournies. Pour l'exercice de spécialité, garde du temps pour les constructions sur l'annexe, qui doivent être faites à la règle et rendues avec la copie.

Conclusion

Ce sujet de Polynésie 2008 est un entraînement complet et équilibré. Il fait travailler la rigueur du raisonnement en chimie, avec le taux d'avancement et la constante d'acidité, la démarche de modélisation en mécanique, avec l'équation différentielle et la méthode d'Euler, et la maîtrise des lois de la physique nucléaire ou de l'optique. Fais-le d'abord en temps limité, puis compare ta copie au corrigé question par question : les encarts de pièges et de méthodes t'aideront à repérer ce qui t'a fait perdre des points.