Étude d'un oscillateur : du système masse-ressort à la molécule HCl

Cet exercice de physique de 5,5 points du bac S 2005 Polynésie (session de rattrapage) étudie un oscillateur élastique horizontal sans frottement, puis applique le modèle à la vibration de la molécule de chlorure d'hydrogène. Prévoyez un peu plus d'une heure. Les trois parties s'enchaînent logiquement : équation du mouvement, étude énergétique, application à une situation microscopique avec résonance et onde infrarouge.

Partie I : l'oscillateur harmonique

Le bilan des forces comprend trois forces : le poids, la réaction du rail, verticale car il n'y a pas de frottement, et la force de rappel du ressort F = −k x i. Le piège est d'ajouter une force de lancement : la masse a été lâchée sans vitesse. En appliquant la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre et en projetant sur l'axe horizontal, poids et réaction disparaissent et l'on obtient d²x/dt² + (k/m) x = 0, avec ω₀² = k/m. Attention au signe de la force de rappel, valable quel que soit le signe de x.

Pour vérifier que x(t) = A sin(ω₀t + φ) est solution, on dérive deux fois et l'on remplace dans l'équation. Les conditions initiales fixent les constantes : une vitesse initiale nulle impose cos φ = 0, et x₀ = 2 cm positif conduit à φ = π/2 et A = x₀ = 2 cm. La période propre vaut T₀ = 2π/ω₀ = 2π √(m/k) : elle ne dépend pas de l'amplitude.

Partie II : étude énergétique

Le travail de l'opérateur qui allonge le ressort vaut δW = k x δx pour un petit allongement ; par intégration, ou par l'aire d'un triangle sous la droite T = k x, on obtient W = ½ k x². Ce travail est stocké sous forme d'énergie potentielle élastique E_pe = ½ k x². L'énergie mécanique s'écrit E_m = ½ m v² + ½ k x², l'énergie potentielle de pesanteur restant constante sur un rail horizontal. En l'absence de frottement, elle se conserve et vaut, d'après les conditions initiales, ½ k x₀².

Partie III : application à la molécule HCl

La masse qui oscille est celle d'un atome d'hydrogène, m = M / N_A avec M = 1,00 × 10⁻³ kg·mol⁻¹. Avec k = 510 N·m⁻¹, on trouve T₀ = 1,13 × 10⁻¹⁴ s. Le piège est de laisser la masse molaire en grammes par mole, ce qui fausse le résultat d'un facteur √1000. La résonance se produit quand la fréquence de l'onde excitatrice est égale à la fréquence propre : ν = 1/T₀ = 8,82 × 10¹³ Hz, calculée avec la valeur non arrondie de T₀. La longueur d'onde dans le vide vaut λ = c/ν = 3,40 µm, au-delà de 0,800 µm : l'onde appartient au domaine infrarouge, principe même de la spectroscopie infrarouge. Avec le deutérium, la masse double : la période est multipliée par √2 et la fréquence propre devient 6,24 × 10¹³ Hz.

Conseils

Conservez les valeurs non arrondies en mémoire de la calculatrice et répondez à la dernière question en raisonnant sur la racine carrée : la fréquence est divisée par √2, et non par 2.