Deux oscillateurs, une même équation

Cet exercice du bac S Inde (Pondichéry) 2006, noté sur 5 points (environ 1 h conseillée), met en parallèle deux oscillateurs idéaux : un solide accroché à un ressort horizontal, glissant sans frottement, et un circuit formé d'une bobine d'inductance L = 0,10 H et d'un condensateur de capacité C = 10,0 µF, initialement chargé avec Q₀ = 10^-4 C. Tout l'intérêt est de montrer que les deux systèmes obéissent à la même équation différentielle, ce qui permet de transposer les résultats de l'un à l'autre.

L'oscillateur mécanique

Bilan des forces et équation différentielle

Le solide est soumis à son poids, à la réaction du support et à la force de rappel du ressort F = -k x j. Le poids et la réaction se compensent. Le piège du schéma est le sens de la force de rappel : pour x > 0, ressort étiré, elle est dirigée vers O. En projetant la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal, seule la force de rappel reste et l'on obtient m d²x/dt² + k x = 0.

Solution et période propre

En dérivant deux fois x = A cos(2πt/T + φ) et en reportant dans l'équation, on voit que l'égalité est vraie à tout instant si T = 2π√(m/k). Il ne faut pas oublier le facteur 2π/T qui sort à chaque dérivation. L'analyse dimensionnelle montre que m/k s'exprime en s², et avec m/k = 1,0 × 10^-2 S.I., la période propre vaut T = 0,63 s. Les conditions initiales, x(0) = X₀ et vitesse nulle, imposent φ = 0 et A = X₀, l'amplitude étant choisie positive.

L'oscillateur électrique

L'équation L d²q/dt² + q/C = 0 a la même forme que l'équation mécanique. Par identification, la charge q joue le rôle de l'abscisse x, l'intensité i = dq/dt celui de la vitesse, la raideur k correspond à 1/C et la masse m à l'inductance L. Le piège est d'associer k à C : dans l'équation électrique, q est divisée par C. Les conditions initiales se correspondent aussi, avec q(0) = Q₀ et i(0) = 0. On en déduit q(t) = Q₀ cos(2πt/T') avec T' = 2π√(LC) = 6,3 ms, à condition de convertir la capacité en farads.

Représenter x(t) et q(t)

Les deux fonctions sont des cosinus de phase nulle : maximum à t = 0, minimum à la demi-période, passage par zéro aux quarts de période. Placer d'abord ces points remarquables permet de tracer une sinusoïde soignée, avec une tangente horizontale aux extrémums.

Les oscillateurs réels

Un oscillateur réel perd de l'énergie : ses oscillations sont amorties. Pour le système solide-ressort, ce sont les frottements ; pour le circuit, la résistance de la bobine et des fils, qui dissipe l'énergie par effet Joule. L'analogie se prolonge donc jusqu'à la résistance, qui joue le rôle du frottement.

Conseils

Dans un exercice d'analogies, écrivez les deux équations l'une sous l'autre avant d'identifier les termes, et soignez les unités : c'est souvent là que se perdent les points.