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Oscillateurs mécaniques
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Oscillateur mécanique horizontal - Bac S Inde (Pondichéry) 2007 (ancien programme) - Ex 4 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2007
Bac S (ancien programme)
Un exercice de mécanique de 4 points sur un pendule élastique horizontal, avec le corrigé détaillé de chaque question.
- Oscillateur non amorti : force de rappel, inventaire des forces, équation différentielle par la deuxième loi de Newton, raideur à partir de la période.
- Oscillateur amorti : unités des coefficients par analyse dimensionnelle, méthode d'Euler et tracé de la courbe.
- Régimes : pseudo-périodique ou apériodique, et ce que la courbe permet de conclure.
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Un oscillateur mécanique horizontal
Cet exercice de 4 points constituait l'exercice III obligatoire du bac S Inde 2007 ; les candidats de spécialité le remplaçaient par l'exercice d'astronomie. Il étudie un mobile de 80 g attaché à un ressort sur un banc à coussin d'air, d'abord sans frottement, puis avec amortissement, en faisant appel à la méthode d'Euler.
L'oscillateur non amorti
La force de rappel s'écrit F = -kx i. Le signe moins traduit le fait que le ressort ramène toujours le mobile vers sa position d'équilibre, qu'il soit étiré ou comprimé. Le mobile subit trois forces : son poids, la réaction du coussin d'air et la force de rappel. Le schéma doit montrer la force de rappel dirigée vers O pour un mobile placé du côté des abscisses positives, sans force de frottement dans cette partie.
La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe horizontal, conduit à l'équation différentielle d²x/dt² + (k/m) x = 0. À partir de la période propre de 0,20 s, on obtient une raideur k ≈ 79 N/m, à condition d'exprimer la masse en kilogrammes.
L'oscillateur amorti et la méthode d'Euler
Avec des frottements plus importants, l'équation devient a + αv + βx = 0. L'analyse dimensionnelle montre que α s'exprime en s-1 et β en s-2, puisque chaque terme doit avoir la dimension d'une accélération.
L'équation différentielle donne l'accélération à l'instant 0,07 s : a7 = 4,0 m/s². Le piège est le signe de la vitesse, négative à cet instant, qui rend le terme d'amortissement positif. La méthode d'Euler fournit ensuite v8 = -0,16 m/s et x8 = 0,006 m. Chaque ligne du tableau se calcule à partir de la ligne précédente : il faut utiliser a7 et v7, pas les valeurs d'un autre instant.
Tracé de la courbe et régime
Avec les échelles imposées, la courbe part de 0,030 m et décroît jusqu'à 0,006 m à 0,08 s sans s'annuler. On distingue deux régimes possibles pour un oscillateur amorti : pseudo-périodique, où le mobile oscille autour de O avec une amplitude décroissante, et apériodique, où il revient vers O sans osciller.
La conclusion demande de la prudence : la durée étudiée est inférieure à la moitié de la période propre. Les deux régimes commencent de la même façon, et rien n'indique encore si l'abscisse deviendra négative. La courbe ne permet donc pas de trancher ; il faudrait poursuivre le calcul plus longtemps.
Conseils
Maîtrisez l'enchaînement système, référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton et projection. Pour la méthode d'Euler, présentez clairement les relations de récurrence et respectez les signes. Enfin, ne concluez jamais au-delà de ce que montrent les données.