Une goutte de brouillard pour réviser mécanique et électricité

Cet exercice de 9,5 points du Bac S Antilles-Guyane 2004 est le plus long de l'épreuve, avec une durée conseillée proche de deux heures. Il suit une gouttelette de brouillard de rayon r et de masse m, d'abord dans un modèle très simple, puis avec des frottements, avant de construire une analogie avec la charge d'un condensateur et de finir sur une expérience d'immobilisation de gouttelettes chargées entre deux armatures. C'est un excellent sujet de révision transversale : deuxième loi de Newton, équations différentielles du premier ordre, circuit RC et force électrique.

Partie 1 : le modèle de la chute libre

Le champ de pesanteur est uniforme à l'échelle d'une nappe de brouillard : même direction, même sens, même valeur. La deuxième loi de Newton appliquée à la goutte, soumise à son seul poids, donne a = g. Avec l'axe (Oz) orienté vers le bas, on intègre deux fois : v(t) = g t puis z(t) = g t²/2. Pour une hauteur h = 10 m, on trouve une vitesse au sol v = √(2gh) ≈ 14 m/s, une valeur évidemment irréaliste pour du brouillard, ce qui justifie la suite.

Partie 2 : poussée d'Archimède et frottement fluide

La poussée d'Archimède vaut Π = ρ_air V_g g. Le corrigé compare le poids et la poussée par leur rapport, égal à ρ_eau/ρ_air ≈ 7,7 × 10². La poussée est donc négligeable. En ajoutant le frottement f = −k v, la projection sur (Oz) conduit à dv/dt = −(k/m) v + g, d'où a = −k/m et b = g. La vitesse limite s'obtient en annulant l'accélération : v_L = m g / k. L'analyse dimensionnelle montre enfin que k s'exprime en kg·s⁻¹.

Partie 3 : le condensateur du dispositif

Le schéma de l'annexe 1 est complété dans le corrigé : l'armature A, reliée à la borne positive P à travers le résistor, porte la charge +q, l'armature B la charge −q. On établit ensuite i = dq/dt = C du_C/dt, puis, par la loi des mailles, l'équation RC du_C/dt + u_C = U_e. Le corrigé vérifie pas à pas que u_C(t) = U_e(1 − e^−t/RC) en est solution.

Partie 4 : l'analogie mécanique-électrique

Les deux courbes de l'annexe 2 croissent puis se stabilisent : le régime commun est convergent. On rappelle τ = RC, et l'identification des exposants donne τ = m/k pour la goutte, une durée cohérente avec l'unité de k trouvée plus haut.

Partie 5 : immobiliser une gouttelette chargée

Une gouttelette immobile ne subit plus de frottement et la poussée d'Archimède reste négligeable : seuls comptent le poids et la force électrique, qui se compensent. Le schéma doit montrer deux flèches de même longueur et de sens opposés. L'égalité |q| U_e/d = m g donne |q| = 6,5 × 10⁻¹⁶ C, donc q = −6,5 × 10⁻¹⁶ C. La force électrique est dirigée vers le haut : la gouttelette négative est attirée par l'armature supérieure, d'où Q_A > 0 et Q_B < 0, en accord avec la partie 3.

Pièges et conseils

Soignez l'orientation de l'axe : vers le bas, le poids se projette en +m g et le frottement en −k v. En 5.3, le rayon est élevé au cube : placez 5,4 × 10⁻⁶ entre parenthèses à la calculatrice. Enfin, une valeur absolue de charge ne suffit pas : il faut conclure sur le signe.