Une minuterie d'éclairage expliquée par le dipôle RC

L'exercice « Principe d'une minuterie » du bac S Centres étrangers 2006 vaut 5,5 points, soit environ 1 h 05 de travail conseillé. Il part d'un circuit simple, un générateur idéal de force électromotrice E = 12,0 V, un conducteur ohmique de résistance R inconnue et un condensateur de capacité C = 120 µF, pour arriver à un dispositif concret : la minuterie qui éteint la lumière d'une cage d'escalier au bout de quelques secondes. La première partie est une étude théorique de la charge du condensateur, la seconde une application où un montage électronique allume ou éteint une lampe selon la tension aux bornes du condensateur.

Partie 1 : établir et résoudre l'équation différentielle

Les premières questions posent les bases. En convention récepteur, la flèche de chaque tension est opposée au sens du courant : la flèche de u_R pointe vers l'interrupteur, celle de u_C vers l'armature qui porte la charge q. Viennent ensuite trois relations à connaître sans hésiter : u_R = Ri, i = dq/dt et q = Cu_C, d'où i = C du_C/dt puisque la capacité est constante. La loi d'additivité des tensions donne E = u_R + u_C, puis l'équation différentielle RC du_C/dt + u_C = E.

La vérification de la solution u_C = E(1 − e^−t/τ) demande de dériver proprement l'exponentielle : le facteur 1/τ est l'oubli le plus fréquent. La condition initiale se vérifie en un calcul, puisque le condensateur est déchargé à la fermeture de l'interrupteur : u_C(0) = E(1 − 1) = 0.

La constante de temps

L'analyse dimensionnelle montre que le produit RC a la dimension d'un temps, en combinant la loi d'Ohm et la relation i = C du_C/dt. Sur la courbe de l'annexe, on cherche l'instant où u_C atteint 63 % de E, soit 7,59 V : la lecture donne τ ≈ 26 s. On en déduit R = τ/C = 2,2 × 10⁵ Ω. Le piège classique est la conversion de la capacité : 120 µF = 120 × 10⁻⁶ F.

Partie 2 : la durée d'allumage de la lampe

La lampe s'allume tant que u_C reste inférieure à u_al = 6,0 V. Le bouton poussoir décharge instantanément le condensateur : u_C tombe à 0 V et la lampe s'allume. Une fois le bouton relâché, le condensateur se recharge vers 12 V, et la lampe reste allumée jusqu'à ce que u_C atteigne 6,0 V. En isolant l'exponentielle puis en prenant le logarithme, on obtient t_al = τ ln(E/(E − u_al)), soit avec τ = 25 s une durée de 17 s. Comme u_al = E/2, cette durée vaut τ ln 2.

La lecture graphique donne environ 18 s : le corrigé explique ce léger écart, la courbe de l'annexe correspondant à une constante de temps proche de 26 s. La dernière question se déduit de la formule : pour allonger l'allumage à E et u_al fixés, il faut augmenter R ou C.

Conseils pour cet exercice

Soignez les constructions graphiques, qui doivent figurer sur l'annexe rendue avec la copie. Gardez deux chiffres significatifs, comme le demande l'énoncé, et rédigez chaque vérification jusqu'au bout plutôt que d'affirmer le résultat. C'est un exercice très complet pour réviser le dipôle RC, toujours au programme de la spécialité.