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Circuits RL et RLC
Circuits RC
Sujet Bac Corrigé - Diapason électronique RC et RLC - Bac S Antilles-Guyane rattrapage 2004 (ancien programme) - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2004
Bac S (ancien programme)
L'exercice 2 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2004 vaut 4 points, environ 52 minutes : des élèves veulent fabriquer un diapason électronique qui émet le la3.
- Circuit RC : convention récepteur, oscilloscope, équation différentielle, constante de temps lue sur la courbe.
- Circuit RLC libre : amortissement, régime pseudo-périodique, mesure de la pseudo-période.
- Oscillateur entretenu : formule de Thomson, choix de l'inductance pour obtenir 440 Hz, note émise.
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Un diapason électronique en trois étapes
L'exercice 2 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2004 (ancien programme) vaut 4 points, soit environ 52 minutes. Des élèves musiciens veulent fabriquer un diapason électronique capable d'émettre le la3 à 440 Hz. L'exercice suit la charge d'un condensateur dans un circuit RC, puis les oscillations libres d'un circuit RLC, et enfin le réglage d'un oscillateur entretenu pour obtenir la bonne note.
Partie 1 : charge du condensateur
Schéma, oscilloscope et équation différentielle (1.1 à 1.6)
En convention récepteur, la flèche de la tension u est opposée au sens du courant : le courant traversant le condensateur de A vers B, on trace u = uAB avec la pointe vers l'armature A. Pour l'oscilloscope, la masse se place en B, la voie 1 sur la borne + du générateur pour visualiser E, la voie 2 sur l'armature A pour u. Avec le sens choisi, i = dqA/dt et qA = C u. La loi d'additivité des tensions et la loi d'Ohm donnent u + RC du/dt = E, équation dont u = E(1 − e−t/(RC)) est solution, en vérifiant aussi la condition initiale u(0) = 0.
Constante de temps (1.7)
La constante de temps vaut τ = RC, et l'équation différentielle montre qu'elle est homogène à une durée. Sur l'annexe 4, on lit l'abscisse du point où u atteint 63 % de E, soit 0,63 × 12 = 7,6 V : τ = 1,0 ms, en accord avec RC = 1000 × 1,0 × 10-6 s. Au bout de 5τ, soit 5,0 ms, la tension a atteint 99 % de sa valeur finale : le condensateur est considéré comme chargé.
Partie 2 : oscillations libres amorties
La bobine ayant une résistance négligeable, c'est le conducteur ohmique R qui dissipe l'énergie par effet Joule et provoque l'amortissement. Le régime est pseudo-périodique. Les points C et D, où la tension s'annule en croissant, sont séparés d'une pseudo-période : tC = 1,5 ms et tD = 3,5 ms donnent T = 2,0 ms. Comme l'amplitude passe de 12 V à environ 2 V en 10 ms, le circuit ne peut pas servir de diapason : la note s'éteindrait en quelques millisecondes.
Partie 3 : entretien et réglage de la fréquence
Le dispositif d'entretien fournit à chaque instant l'énergie dissipée par effet Joule. La courbe entretenue est une sinusoïde d'amplitude 12 V et de période 2,0 ms. La période propre T0 = 2π√(LC) vaut 2,0 × 10-3 s, d'où f0 = 5,0 × 102 Hz : aucune note du tableau de l'octave 3 ne correspond. La fréquence ne dépend que de L et de C ; sans autre condensateur, on règle l'inductance : L = 1/(4π² C f2) = 0,13 H pour 440 Hz. Avec L = 232 mH, on obtient 3,3 × 102 Hz, c'est-à-dire le mi3.
Pièges à éviter
Dessiner la flèche de u dans le même sens que celle du courant revient à adopter la convention générateur et change tous les signes. Pour la pseudo-période, deux annulations successives ne suffisent pas : il faut deux passages par zéro dans le même sens. Enfin, oublier de convertir 232 mH en henrys fausse la fréquence d'un facteur √1000, environ 32.
Conseils de méthode
Pour la constante de temps, annoncez la méthode (63 % de E, ou tangente à l'origine qui coupe l'asymptote à t = τ) avant de lire le graphique, et contrôlez le résultat par le calcul de RC. Pour isoler L, élevez d'abord au carré les deux membres de la formule de Thomson.