Des ultrasons au circuit oscillant

L'exercice 2 du bac S Métropole 2006, noté sur 4 points (environ 52 minutes conseillées), part des céramiques piézoélectriques utilisées comme émetteurs et récepteurs d'ultrasons. Ses deux parties sont indépendantes : la première traite de la propagation des ultrasons et de la résonance, la seconde des oscillations libres d'un circuit RLC série, qui permet d'exciter la céramique à la bonne fréquence.

Partie 1 : émission et propagation des ultrasons

Lire un oscillogramme

Sur la figure 8, avec un balayage de 10 µs par division, deux périodes occupent 5,0 divisions. On en déduit T = 2,5 × 10^-5 s et f = 4,0 × 10⁴ Hz, soit 40 kHz. Mesurer plusieurs périodes à la fois rend la lecture plus précise, et il faut convertir les microsecondes en secondes avant de calculer la fréquence. Le récepteur vibrant à la même fréquence que l'onde reçue, la fréquence des ultrasons est aussi de 40 kHz, au-delà de la limite des sons audibles.

Longueur d'onde

La relation λ = v_air/f_u donne λ = 8,5 × 10^-3 m, soit 8,5 mm. Le piège porte sur les chiffres significatifs : la fréquence n'en a que deux, le résultat non plus.

Résonance de la céramique

À la résonance, la fréquence de la tension excitatrice est proche de la fréquence propre de la céramique, et l'amplitude de vibration devient maximale. Le corrigé insiste sur une erreur classique : en régime forcé, la céramique vibre toujours à la fréquence de l'excitateur, seule l'amplitude change.

Partie 2 : oscillations libres dans un circuit RLC série

Régime et amortissement

La tension u_C oscille autour de zéro avec une amplitude décroissante : c'est un régime pseudo-périodique. L'énergie, échangée entre le condensateur et la bobine, est en partie dissipée par effet Joule dans la résistance, d'où l'amortissement. Pour l'éviter, on ajoute un dispositif d'entretien qui fournit à chaque instant l'énergie perdue.

Vrai ou faux commenté

Les deux affirmations sont fausses : avec une résistance trop grande, le régime devient apériodique, et la période propre T₀ = 2π√(LC) ne dépend pas de la charge initiale. Une réponse sans justification ne rapporte rien.

Équation différentielle et capacité

Pour le circuit LC, on écrit i = C du_C/dt, u_L = L di/dt et la loi des mailles, ce qui conduit à d²u_C/dt² + u_C/(LC) = 0. Les signes dépendent des flèches du schéma : il faut les lire avec soin. En reportant la solution proposée, le facteur 2π/T₀ apparaît au carré et donne T₀ = 2π√(LC). Avec L = 1,0 mH et f₀ = 40 kHz, on trouve C = 1,6 × 10^-8 F, soit 16 nF, à condition d'exprimer f₀ en hertz, L en henrys et de ne pas oublier le carré.

Conseils pour réussir

Cet exercice récompense la rigueur sur les unités et les justifications courtes mais précises. Entraînez-vous à établir l'équation différentielle d'un circuit LC sans regarder le résultat, en partant du schéma et de ses conventions d'orientation.