Un voyage vers la Lune en trois étapes

Ce deuxième exercice du bac S 2009 Métropole, session de rattrapage, vaut 5,5 points pour une durée conseillée de 1 h 05. Il suit la mission Apollo XI de juillet 1969 en trois parties indépendantes : le décollage de la fusée Saturn V, sa mise en orbite circulaire autour de la Terre, puis la datation des roches rapportées de la Lune. Mécanique et radioactivité se partagent donc le barème.

Partie 1 : l'ascension de Saturn V

Le début du lancement s'étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pour quelques secondes. L'inventaire des forces en compte quatre, toutes verticales : le poids et le frottement de l'air vers le bas, la poussée des réacteurs et la poussée d'Archimède de l'air vers le haut. L'expression « interaction de l'air » recouvre bien deux actions.

La deuxième loi de Newton, sous la forme donnée, suppose une masse constante. Or la fusée éjecte environ 2 000 tonnes de carburant en 180 s : la loi ne s'applique qu'au tout début, quand la masse éjectée reste négligeable. En ne gardant que le poids et la poussée, on obtient a = F/M - g = 1,6 m·s-2, à condition de convertir les 2,9 × 10^3 tonnes en 2,9 × 10^6 kg.

Partie 2 : la mise en orbite terrestre

La force de gravitation s'écrit avec la distance au centre de la Terre, RT + h, et un signe moins, car le vecteur unitaire pointe à l'opposé de la Terre. Dans le référentiel géocentrique, la deuxième loi de Newton donne une accélération radiale et dirigée vers le centre : elle est centripète. Sa composante tangentielle dv/dt étant nulle, le mouvement circulaire est uniforme. En égalant v²/(RT + h) et GMT/(RT + h)², on obtient la vitesse orbitale, qui vaut 7,80 km·s-1 à 185 km d'altitude, sans dépendre de la masse du système.

Partie 3 : l'âge des roches lunaires

Un radioélément adapté à la datation possède une demi-vie du même ordre que l'âge à mesurer : seul le potassium 40, dont la demi-vie est voisine du milliard d'années, convient. Sa désintégration en argon 40 émet un positon, d'après les lois de conservation. La loi de décroissance NK(t) = NK(0) e^(-λt) conduit à λ = ln 2 / t1/2 = 5,50 × 10^-10 an-1. Avec la relation NK(0) = NK(t) + NAr(t), l'âge de la roche s'écrit t = (1/λ) ln(1 + NAr/NK) et vaut environ 4,3 milliards d'années.

Pièges et conseils

Les erreurs les plus fréquentes portent sur les unités : tonnes à convertir en kilogrammes, kilomètres en mètres avant d'additionner RT et h. Dans la force de gravitation, on met (RT + h)² au dénominateur et non h². Pour l'uniformité du mouvement, l'argument attendu est l'absence d'accélération tangentielle, pas un vecteur accélération « constant », dont la direction change sans cesse. En datation, le rapport NAr/NK vaut 9,6 : attention aux puissances de dix différentes. Garder λ en an-1 évite toute conversion inutile en secondes.