Mesurer l'inductance d'une bobine par trois méthodes

Cet exercice de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, est le deuxième exercice du sujet de rattrapage du bac S 2009 Antilles-Guyane. Un condensateur de 2200 µF, chargé sous 5,0 V, se décharge dans une bobine dont l'inductance est comprise entre 600 et 900 mH. L'objectif est de déterminer cette inductance de plusieurs façons et de comparer les résultats, puis d'étudier l'influence de la résistance du circuit.

Partie 1 : méthode temporelle

Le document 1 montre une tension qui change de signe en s'atténuant : ce sont des oscillations électriques libres amorties, le régime est pseudo-périodique. Pour mesurer la pseudo-période avec précision, on lit la durée de plusieurs oscillations puis on divise : deux pseudo-périodes durent 0,52 s, donc T = 0,26 s. En assimilant T à la période propre T0 = 2π√(LC), on obtient L = 0,78 H. Le piège classique est d'oublier de convertir la capacité en farads ou d'élever 2π au carré.

Partie 2 : méthode énergétique

La résistance est désormais annulée. Les énergies s'écrivent C u²/2 pour le condensateur et L i²/2 pour la bobine, et leur somme donne l'énergie totale. Pour identifier les courbes du document 4, on regarde la date t = 0 : le condensateur est chargé et le courant est nul. L'énergie totale, qui reste constante, est la courbe 1 ; l'énergie du condensateur, maximale au départ, est la courbe 3 ; celle de la bobine, nulle au départ, est la courbe 2.

La lecture graphique donne une énergie totale d'environ 27,5 mJ, que l'on contrôle par le calcul C E²/2. À t = 0,20 s, la tension est nulle et l'intensité maximale : toute l'énergie est dans la bobine. En lisant i = 0,26 A sur le document 3, on obtient L = 0,81 H, valeur proche de celle de la méthode temporelle. L'écart vient surtout de la précision des lectures graphiques.

Partie 3 : modélisation

Cette partie demande de l'attention aux conventions du schéma. Les flèches de la tension et de l'intensité sont dans le même sens pour la bobine : c'est la convention générateur, d'où u = -L di/dt. Pour le condensateur, i = C du/dt. En combinant les deux relations, on obtient l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique, avec A = 1/√(LC), la pulsation propre.

Le document 2 donne l'amplitude, 5,0 V, et une phase nulle puisque u est maximale à t = 0. La période propre de 0,26 s conduit à u(t) = 5,0 cos(24 t). En dérivant, sans oublier le signe moins ni le facteur 24, on obtient i(t) = -0,26 sin(24 t), cohérent avec le document 3 où l'intensité commence par devenir négative.

Partie 4 : comparaison des régimes

Plus la résistance totale est grande, plus l'amortissement est fort. Sans résistance, la courbe 5 garde une amplitude constante : régime périodique. Avec 2,0 Ω, la courbe 6 oscille avec une amplitude décroissante : régime pseudo-périodique. Avec 80 Ω, la courbe 4 revient à zéro sans osciller : régime apériodique. La décroissance de la courbe 6 s'explique par l'effet Joule, qui dissipe une partie de l'énergie à chaque échange entre condensateur et bobine.

Conseils

Mesurez toujours plusieurs périodes pour gagner en précision, identifiez les courbes à partir des conditions initiales, et vérifiez les conventions d'orientation avant d'écrire une relation entre tension et intensité.