Une équation au service des sciences physiques : trois situations, un même modèle

Ce troisième exercice du bac S 2005 Antilles-Guyane (rattrapage) pèse 9,5 points, presque la moitié de la note : il faut lui consacrer près de deux heures. Son idée est de montrer que l'équation différentielle du premier ordre dx/dt + αx = β décrit des grandeurs aussi variées qu'une intensité, une vitesse ou une activité radioactive. L'énoncé rappelle ses deux solutions : x(t) = (β/α)(1 - e^-αt) si β ≠ 0, et x(t) = X₀e^-αt si β = 0.

Partie A : le circuit RL

Une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 Ω est en série avec un conducteur ohmique R = 12 Ω et un générateur E = 6,1 V. Sur le graphique 1, le régime transitoire dure environ 0,25 s. La constante de temps s'écrit τ = L/(R + r) : oublier r, aussi grand que R, est le piège principal. À t = τ, l'intensité atteint 63 % de sa valeur finale, soit 0,16 A, ce qui donne τ ≈ 0,045 s et L ≈ 1,1 H, bien dans l'intervalle attendu. La loi d'additivité des tensions conduit ensuite à di/dt + ((R + r)/L)i = E/L, d'où α = (R + r)/L et β = E/L. On vérifie la solution en calculant séparément la dérivée et le terme en αi. En régime permanent, I = E/(R + r) = 0,26 A, proche des 0,25 A mesurés, et i(τ) = 0,63 I = 0,16 A confirme le modèle.

Partie B : la chute d'une bille dans un fluide

La vitesse modélisée v(t) = 1,14(1 - e^-t/0,132) s'identifie à la forme (2) : α = 7,58 s^-1 et β/α = 1,14 m·s^-1, qui est la vitesse limite. On en déduit β = 8,64 m·s^-2. La bille subit trois forces : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède et le frottement fluide vers le haut. En projetant la seconde loi de Newton sur un axe orienté vers le bas, on obtient dv/dt + (k/m)v = (1 - ρ_fluideV/m)g. Les signes sont la principale source d'erreur. Sans poussée d'Archimède, on aurait β = g = 9,81 m·s^-2, soit 12 % de plus que la valeur modélisée : cette force ne peut pas être négligée.

Partie C : la décroissance du carbone 11

Une analyse dimensionnelle montre que λ est l'inverse d'un temps, puisque l'argument d'une exponentielle est sans dimension. Avec λ = 1/τ, la lecture du graphique 2 à 37 % de A₀ donne τ ≈ 29 min et λ ≈ 3,4 × 10^-2 min^-1. La demi-vie se lit à A₀/2 : environ 20 min, en accord avec ln 2/λ. La méthode d'Euler donne A(t + Δt) = A(t)(1 - λΔt). Un pas de 15 min est trop grand devant τ et t_1/2. Avec un pas de 5 min, le tableau se complète (2,49 × 10⁸ Bq par Euler à 5 min, 2,14 × 10⁸ Bq en théorie à 10 min) et les écarts relatifs restent sous 5 % : 1,6 %, 3,3 % puis 4,4 %.

Conseils

La longueur de l'exercice impose de ne pas s'attarder : les trois parties sont indépendantes et chacune commence par des questions accessibles. Maîtriser l'identification d'une équation à la forme générale, la méthode des 63 % et la projection d'une relation vectorielle suffit pour récupérer une grande partie des points.