Décharge d'un condensateur : un exercice de référence sur le dipôle RC

L'exercice 1 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2006 (ancien programme), noté sur 5 points avec une durée conseillée d'environ 1 h 05, porte sur la décharge d'un condensateur de capacité C dans un conducteur ohmique de résistance R. À l'instant initial, le condensateur est chargé sous la tension U₀ = 10 V. L'exercice suit une progression très logique : mise en équation, résolution, exploitation graphique, étude de l'intensité puis de l'énergie.

Partie 1 : établir l'équation différentielle

Le circuit ne comporte qu'une maille : la loi des mailles donne u_C + u_R = 0. La charge de l'armature A s'écrit q_A = C u_C. Le point délicat est le signe de l'intensité : pendant la décharge, le courant compté positivement dans le sens choisi circule en réalité dans l'autre sens, donc i est négative, et i = C du_C/dt. En combinant la loi d'Ohm et la loi des mailles, on obtient une équation de la forme α u_C + du_C/dt = 0 avec α = 1/(RC).

Partie 2 : solution et constante de temps

Identifier les constantes

En reportant u_C = A e^−βt dans l'équation, on obtient β = 1/(RC). Le piège classique est d'oublier le signe moins en dérivant l'exponentielle, ou de conclure sans dire pourquoi le facteur A e^−βt ne peut pas être nul. La condition initiale donne A = U₀ = 10 V.

Choisir la courbe et lire τ

La tension part de 10 V et décroît vers 0 : c'est la courbe 1, la courbe 2 correspondant à une charge. On pose τ = RC, et l'analyse dimensionnelle, à partir de la loi d'Ohm et de i = C du_C/dt, montre que τ a la dimension d'une durée. Sur la courbe 1, la tension vaut 37 % de U₀, soit 3,7 V, pour t ≈ 0,07 s ; la tangente à l'origine coupe l'axe des temps à la même date. Avec R = 33 Ω, on en déduit C ≈ 2 × 10⁻³ F, soit 2 mF.

Partie 3 : l'intensité du courant

En dérivant u_C, on montre que i = −(U₀/R) e^−t/(RC). À t = 0, I₀ = −0,30 A : contrairement à la tension, l'intensité peut être discontinue et passe d'un coup de 0 à cette valeur. La courbe 3 est donc la bonne : intensité négative qui tend vers 0. À t = 0,50 s, on trouve i ≈ −2 × 10⁻⁴ A et u_C ≈ 8 mV, soit environ 0,1 % de U₀. Comme plus de 5τ (0,35 s) se sont écoulés, on peut considérer le condensateur comme déchargé. Attention aux parenthèses autour de l'exposant à la calculatrice.

Partie 4 : énergie emmagasinée

L'énergie s'écrit E = ½ C u_C², ou encore E = q_A²/(2C). Pour un condensateur de capacité C' supérieure à C chargé sous la même tension U₀, l'énergie est proportionnelle à la capacité, donc E' > E. Le piège est de raisonner avec la charge, qui n'est pas la même dans les deux cas : c'est la tension qui est imposée.

Conseils pour réussir

Soignez les conventions de signe dès le départ, car toute la suite en dépend. Pour les lectures graphiques, indiquez la méthode utilisée et arrondissez avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision des graduations. Enfin, justifiez toujours le choix d'une courbe par deux arguments : la valeur initiale et le comportement aux temps longs.