Un piège photo pour identifier un prédateur

L'exercice « Le piège photo » du bac S Amérique du Nord 2006 vaut 5 points, soit environ 1 h 05. Un ornithologue installe un œuf de caille sur un commutateur : quand le prédateur le prélève, un condensateur chargé se décharge dans un électroaimant qui déclenche l'appareil photo. Trois parties s'enchaînent : la charge d'un circuit RC, la décharge dans la bobine, puis la mesure de l'inductance à partir d'oscillations amorties.

Partie I : armement du dispositif

Il faut d'abord schématiser le circuit de charge avec le sens réel du courant, qui sort de la borne + du générateur. La loi des mailles u_C + u_R = E, la loi d'Ohm et la relation i = C du_C/dt donnent l'équation u_C + RC du_C/dt = E, d'où τ = RC. L'analyse dimensionnelle montre que τ est homogène à un temps. En régime permanent, la dérivée s'annule et U_C = E = 8,0 V.

On vérifie ensuite que u_C(t) = A(1 − e^−t/τ) est solution si A = E. À t = 5τ, u_C vaut 0,993 E : l'écart à E est inférieur à 1 %, la charge est considérée comme totale. Sur le graphique 1, la méthode des 63 % donne u_C(τ) = 5,0 V, lu pour τ = 0,22 s ; l'opérateur doit donc maintenir le commutateur en position 1 pendant au moins 5τ = 1,1 s.

Partie II : déclenchement du piège

Sur le graphique 2, la tension passe de 8,0 V à 4,0 V en t_1/2 ≈ 7 ms : le piège réagit en quelques millisecondes. Pour que l'énergie emmagasinée, W = ½ C E², soit la plus grande possible, on peut augmenter E et C ; la résistance R ne modifie que la durée de la charge.

Partie III : inductance de la bobine

Le graphique 3 montre une tension qui oscille autour de zéro avec une amplitude décroissante : c'est un régime pseudo-périodique. L'amortissement étant faible, la pseudo-période est assimilée à la période propre T₀ = 2π√(LC'). En mesurant quatre pseudo-périodes, on obtient T = 2,0 × 10^-5 s, puis L = T²/(4π²C') = 1,0 × 10^-3 H, soit 1,0 mH.

Pièges et conseils

Le corrigé signale les erreurs les plus fréquentes : des flèches de tension mal orientées qui font apparaître un signe moins dans l'équation, un signe oublié en dérivant l'exponentielle, une lecture de τ par la tangente moins précise que la méthode des 63 %, et l'oubli d'élever T au carré ou de convertir C' en farads. Mesurer plusieurs pseudo-périodes plutôt qu'une seule réduit l'incertitude de lecture. Chaque réponse est accompagnée de la copie attendue, des graphiques complétés et des écrans de calculatrice.