Le polonium 210 : désintégration alpha et loi de décroissance radioactive

Cet exercice de physique de 4 points du bac S 2005 Polynésie (session de rattrapage) porte sur le polonium, élément découvert en 1898 dans la pechblende. Il se traite en une cinquantaine de minutes et comporte deux parties : une première, très proche du cours, sur la composition du noyau et l'équation de désintégration, puis une seconde, plus expérimentale, qui exploite des mesures de N(t)/N₀ pour déterminer la constante radioactive.

Première partie : noyau radioactif et équation de désintégration

Un noyau radioactif est un noyau instable qui se désintègre spontanément, à un instant imprévisible, en émettant une particule et souvent un rayonnement gamma. Le noyau de polonium 210 (Z = 84) contient 84 protons et 210 − 84 = 126 neutrons. Pour l'équation de la désintégration alpha, on écrit les lois de conservation : conservation du nombre de nucléons (210 = A + 4, donc A = 206) et de la charge électrique (84 = Z + 2, donc Z = 82). L'extrait de la classification indique qu'il s'agit du plomb : le noyau fils est le plomb 206. Petite curiosité : l'extrait de classification attribue le symbole Th au numéro atomique 81, qui correspond en réalité au thallium (Tl) ; cette coquille est sans effet sur le résultat.

Deuxième partie : exploiter les mesures

On complète d'abord la ligne −ln(N/N₀) du tableau : 0 ; 0,20 ; 0,40 ; 0,60 ; 0,80 ; 0,99 ; 1,2. Attention à bien utiliser le logarithme népérien et non la touche log. Le tracé, avec l'échelle imposée, fait apparaître des points alignés sur une droite passant par l'origine.

La loi de décroissance s'écrit N(t) = N₀ e^−λt. En prenant le logarithme, on obtient −ln(N/N₀) = λt : cette grandeur est proportionnelle au temps, ce qui est exactement ce que montre le graphe. C'est l'intérêt de cette représentation : transformer une exponentielle en droite, facile à valider à la règle.

Constante radioactive, constante de temps et demi-vie

La pente de la droite donne directement λ = 1,2 / 240 = 5,0 × 10⁻³ j⁻¹, soit 5,8 × 10⁻⁸ s⁻¹ en unité SI. La constante de temps est l'inverse : τ = 1/λ = 2,0 × 10² jours, soit environ 1,7 × 10⁷ s. La demi-vie vérifie t_1/2 = ln 2 / λ = τ ln 2 ≈ 1,4 × 10² jours, soit 1,2 × 10⁷ s, cohérent avec la valeur admise de 138 jours. Il faut retenir qu'à t = τ il reste 37 % des noyaux, contre 50 % à t = t_1/2 : la demi-vie est donc plus courte que la constante de temps.

Conseils

Le piège principal est le mélange des unités : λ, τ et t_1/2 sortent naturellement en jours, et la conversion en secondes doit se faire à la fin, avec 1 jour = 24 × 3600 s. Pour la pente, choisissez deux points éloignés de la droite moyenne et non deux points de mesure voisins. Enfin, rédigez la justification de l'accord entre la loi et le graphe en une phrase claire : droite passant par l'origine, de coefficient directeur λ.