Deux oscillateurs, deux approches, une comparaison finale

Cet exercice de 5,5 points du Bac S Amérique du Sud 2005 se compose de trois parties : un pendule simple étudié par l'énergie, un oscillateur élastique horizontal étudié par la deuxième loi de Newton, puis une comparaison des deux périodes sur la Lune. Les frottements sont négligés partout, ce qui simplifie les bilans énergétiques.

Partie A : le pendule simple

L'énergie cinétique s'écrit E_C = ½·m·v², et l'énergie potentielle de pesanteur donnée par l'énoncé vaut mgL(1 – cos β). L'énergie mécanique est leur somme ; elle se conserve car la seule force qui travaille est le poids, force conservative, la tension du fil restant perpendiculaire à la trajectoire. Répondre seulement « parce que le sujet le dit » ne suffit pas : il faut cette justification. En égalant l'énergie mécanique en G_i et en G₀, on obtient v₀ = √(2gL(1 – cos β_m)). Les valeurs ont été choisies pour un calcul de tête : 2 × 10 × 1,0 × 0,050 = 1,0, donc v₀ = 1,0 m·s^-1. La masse disparaît du résultat. La loi d'isochronisme des petites oscillations affirme que la période ne dépend pas de l'amplitude. Enfin, l'analyse dimensionnelle des quatre expressions proposées montre que seule T₀ = 2π√(L/g) est homogène à une durée ; le facteur 2π et l'angle sont sans dimension.

Partie B : l'oscillateur élastique

Le solide est soumis à son poids, à la réaction normale du support (les frottements étant négligés) et à la force de rappel du ressort F = –k·x·i. Le piège est de dessiner cette force dans le sens de l'étirement : quand x > 0, elle est dirigée vers la gauche. La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal donne l'équation différentielle d²x/dt² + (k/m)·x = 0. En dérivant deux fois la solution proposée et en la reportant dans l'équation, on obtient T₀ = 2π√(m/k). Il faut penser au facteur 2π/T₀ qui apparaît à chaque dérivation.

L'énergie mécanique du système s'écrit ½·m·(dx/dt)² + ½·k·x². L'énergie potentielle élastique est maximale quand |x| = X_m, c'est-à-dire aux dates 0 ; 0,50 ; 1,0 ; 1,5 et 2,0 s sur l'enregistrement : la vitesse y est nulle, donc l'énergie cinétique aussi. Ne retenir que les maximums de x est une erreur fréquente, les minimums x = –X_m comptent également. L'énergie mécanique vaut ½·k·X_m² = ½ × 4,0 × (0,10)² = 2,0 × 10^-2 J, soit 20 mJ, à condition d'exprimer l'amplitude en mètres.

Partie C : les pendules sur la Lune

Sur la Lune, l'intensité de la pesanteur est environ six fois plus faible. La période du pendule simple, qui dépend de g, augmente : c'est l'hypothèse 2. Celle de l'oscillateur élastique ne dépend que de m et k, inchangées : elle ne varie pas, c'est l'hypothèse 1. Affirmer que tout est plus lent sur la Lune est le piège à éviter.

Conseils

L'exercice entraîne à choisir la bonne méthode, énergétique ou dynamique, et à justifier les conservations. Le travail sans calculatrice impose de regrouper les facteurs avant de calculer.