Un circuit RC transformé en thermomètre

L'exercice « Sonde thermique » du bac S Antilles-Guyane 2005 vaut 4 points, soit environ 52 minutes, et se traite sans calculatrice. Le montage est un dipôle RC série alimenté par un générateur de tension E = 4,0 V ; le conducteur ohmique est une thermistance, dont la résistance dépend de la température de l'enceinte où elle est placée. L'idée est simple et élégante : en mesurant la durée de charge du condensateur, on remonte à la résistance, puis à la température. L'exercice reprend donc tout le cours sur la charge d'un condensateur, puis l'applique à une démarche d'étalonnage.

L'équation différentielle de la charge (questions 1.1 à 1.3)

La loi des mailles donne E = u_R + u_C : les deux flèches de tension sont dans le même sens sur le schéma, il n'y a donc aucun signe moins. Avec u_R = R i et i = C du_C/dt, on obtient RC du_C/dt + u_C = E. La solution proposée est u_C = A + B e^−t/(RC). En fin de charge, l'exponentielle tend vers zéro et le courant s'annule : A = E = 4,0 V. À la date t = 0, le condensateur est déchargé, donc A + B = 0 et B = −E = −4,0 V. On en déduit u_C = E(1 − e^−t/(RC)). Le piège classique est d'oublier le signe de B : avec B positif, la tension partirait de 2E et décroîtrait, ce qui ne décrit pas une charge.

Constante de temps et lecture graphique (questions 1.4.1 à 1.4.3)

L'analyse dimensionnelle part de deux relations simples : u = R i donne [R] = [U]/[I], et q = C u avec q = i Δt donne [C] = [I][T]/[U]. Le produit RC a donc la dimension d'un temps. Pour lire τ₁ à 20 °C, on utilise la propriété u_C(τ) = 0,63 E = 2,5 V, valeur fournie par l'aide mathématique : on cherche sur la courbe le point d'ordonnée 2,5 V et on lit τ₁ = 1,3 ms. La méthode de la tangente à l'origine est acceptée, mais elle est moins précise. Avec C = 1,0 µF, R₁ = τ₁/C = 1,3 kΩ, à condition de convertir les millisecondes en secondes et les microfarads en farads.

Le tableau et la courbe d'étalonnage (questions 1.4.4 et 1.4.5)

La même lecture répétée sur les autres courbes donne τ = 0,9 ms à 30 °C, 0,6 ms à 40 °C, 0,4 ms à 50 °C et 0,3 ms à 60 °C. Comme C vaut 1,0 µF, la résistance en kilo-ohms a la même valeur que τ en millisecondes : aucun calcul n'est nécessaire. Les neuf points (θ ; R) se placent ensuite sur papier millimétré avec l'échelle imposée. Ils ne sont pas alignés : il faut tracer une courbe régulière et décroissante, pas une droite à la règle, sinon la lecture de la dernière partie est faussée.

Mesurer une température inconnue (question 2)

La thermistance placée dans une nouvelle enceinte présente une résistance R = 0,50 kΩ. On repère cette ordonnée sur la courbe d'étalonnage et on lit l'abscisse : θ ≈ 44,5 °C, soit environ 45 °C. Le résultat est cohérent avec le tableau, puisque 0,50 kΩ se situe entre 0,6 kΩ à 40 °C et 0,49 kΩ à 45 °C, tout près de la seconde valeur. La courbe d'étalonnage sert ainsi dans les deux sens : construite avec des températures connues, elle permet ensuite de déterminer une température inconnue.

Conseils pour réussir cet exercice

Rédigez les trois étapes de l'équation différentielle sans en sauter aucune, justifiez A et B par les conditions finales et initiales, et soignez les lectures graphiques en traçant les pointillés. Donnez les résultats avec deux chiffres significatifs, comme les données. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue sur la copie, les encarts de méthode et les pièges à éviter.