Le condensateur dans tous ses états : charge, équation différentielle et méthode d'Euler
Ce deuxième exercice du bac S 2003 Polynésie (session de rattrapage), noté sur 5,5 points, suit un condensateur dans deux montages. La première partie le charge à courant constant pour mesurer sa capacité ; la seconde étudie sa charge et sa décharge à travers des conducteurs ohmiques, avec l'équation différentielle, sa résolution numérique par la méthode d'Euler et la constante de temps.
Questions 1.1 à 1.3 : la charge à courant constant
Le courant étant constant, la charge croît proportionnellement au temps : q = I·t. Au bout de 3,0 s, avec 12 µA, on obtient 36 µC. Le graphe n°1 montre ensuite une droite passant par l'origine : q est proportionnelle à u, et le coefficient directeur de la droite moyenne est la capacité. Le point (10 V ; 47 µC) donne C ≈ 4,7 µF, valeur qui tombe dans l'intervalle de tolérance de 4,2 à 5,2 µF annoncé par le constructeur.
Questions 2.1 à 2.3 : l'équation différentielle de la charge
La loi des mailles, la loi d'Ohm et la relation i = C·du/dt conduisent à E = RC·du/dt + u. Le corrigé insiste sur un schéma fléché en convention récepteur pour justifier les signes. En reportant la solution proposée dans l'équation, on identifie A = E et α = 1/RC. Sur le graphe n°2, l'asymptote horizontale donne E = 5,0 V.
Questions 2.4 et 2.5 : la méthode d'Euler pas à pas
À l'instant initial, la dérivée vaut E/RC, soit environ 4,8 × 10² V/s. On construit ensuite le tableau de proche en proche, avec un pas de 1 ms : la tension passe par 0,48 V, 0,92 V puis 1,3 V, tandis que la dérivée diminue à chaque pas. La comparaison des trois courbes du graphe montre que plus le pas est petit, plus la méthode d'Euler se rapproche de la solution exacte. Un pas petit devant la constante de temps (environ 10 ms ici) garantit que la dérivée varie peu sur un intervalle.
Questions 2.6 et 2.7 : constante de temps et décharge
La constante de temps est la durée au bout de laquelle la tension atteint 63 % de sa valeur finale, soit 3,15 V : la lecture de la courbe analytique donne environ 10 ms, d'où une capacité d'environ 4,5 µF, compatible avec la valeur nominale. En position 2, seul le conducteur R' intervient dans la décharge : la constante de temps vaut R'C ≈ 47 ms, plus longue que celle de la charge. La première affirmation est vraie, la seconde fausse.
Pièges et conseils
Convertir les microampères et les millisecondes avant tout calcul ; lire la constante de temps sur la courbe analytique et non sur les courbes d'Euler ; garder les valeurs non arrondies d'une colonne à l'autre du tableau ; redessiner la maille réellement parcourue par le courant avant d'écrire une constante de temps.