La bobine d'un woofer : étude expérimentale et numérique d'un dipôle RL

Cet exercice de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, fait partie de l'épreuve obligatoire du bac S 2008 d'Amérique du Sud. Un élève cherche l'inductance L et la résistance interne r de la bobine d'un haut-parleur de graves en enregistrant l'établissement du courant dans un circuit RL alimenté par un générateur de 6,0 V, avec une résistance R = 10 Ω. L'exercice mêle exploitation de courbes, équation différentielle, analyse dimensionnelle et méthode d'Euler.

Questions 1 à 5 : le régime permanent et la résistance r

Le logiciel calcule l'intensité à partir de la tension aux bornes du conducteur ohmique, grâce à la loi d'Ohm i = u_R/R. En régime permanent, la courbe atteint un palier à I = 430 mA. La loi d'additivité des tensions, avec di/dt nul en régime permanent, conduit à I = E/(R + r). On en déduit r ≈ 3,95 Ω, ce qui confirme la valeur de 4,0 Ω annoncée. Le piège est de garder I en milliampères, ce qui donnerait une résistance négative. La vérification expérimentale se fait avec un ohmmètre branché aux bornes de la bobine seule, débranchée du circuit.

Questions 6 à 8 : constante de temps et inductance

La constante de temps se lit à 63 % de la valeur finale : 0,63 × 430 = 271 mA, atteint pour τ ≈ 35 µs. Le corrigé trace la lecture sur la courbe et rappelle la méthode alternative de la tangente à l'origine. Avec τ = L/(R + r), où la résistance totale du circuit intervient, on obtient L = 4,9 × 10^-4 H, soit 0,49 mH, de l'ordre du millihenry comme annoncé.

Questions 9 à 12 : équation différentielle et méthode d'Euler

En isolant la dérivée dans la loi des mailles, on établit di/dt = A - B·i avec A = E/L et B = (R + r)/L. L'analyse dimensionnelle montre que B s'exprime en s^-1, c'est l'inverse d'une constante de temps. Le tableau du document 2 se complète ligne par ligne : la dérivée vaut 1,2 × 10⁴ A·s^-1 à l'instant initial, puis 8,6 × 10³ A·s^-1 à 1,0 × 10^-5 s, et l'intensité atteint 0,21 A à 2,0 × 10^-5 s. On retrouve la valeur 6,1 × 10³ A·s^-1 fournie par le sujet, ce qui valide les calculs. Pour améliorer la précision, il faut diminuer le pas Δt, au prix d'un plus grand nombre de lignes de calcul.

Question 13 : quelle grandeur a été modifiée ?

La seconde courbe atteint un palier plus bas, 250 mA, avec une constante de temps plus courte, environ 20 µs. Comme τ = L/(R + r) ne dépend pas de E, seule une augmentation de la résistance R explique ce changement. Le corrigé vérifie la cohérence : R passe à 20 Ω, ce qui redonne bien τ' ≈ 20 µs. Les deux courbes ont d'ailleurs la même pente à l'origine, E/L, ce qui exclut un changement de E.

Conseils

Travaillez en unités du système international, justifiez chaque lecture graphique et vérifiez vos résultats par un second chemin quand le sujet le permet. Le corrigé rappelle que la bobine et les circuits RL ne sont plus au programme actuel de spécialité, mais la méthode d'Euler et la lecture de constante de temps restent très utiles pour le circuit RC.