Comprendre le thermomètre de Galilée

L'exercice « Thermomètre de Galilée » vaut 5 points dans l'épreuve du bac S Amérique du Sud 2006, soit environ 1 h 05. Cet objet décoratif est une colonne de liquide dans laquelle flottent des boules de même volume mais de masses différentes ; la température se lit sur la boule la plus basse parmi celles restées en haut. L'exercice explique d'abord ce principe, puis étudie le mouvement d'une boule qui descend dans le liquide.

Partie 1 : le principe de fonctionnement

Une boule immobile dans l'huile subit deux forces verticales de sens opposés : son poids P = ρ V_b g et la poussée d'Archimède Π = ρ_l(T) V_b g. Le piège de la question 1.1 est d'ajouter un frottement : la boule étant immobile, le frottement fluide, proportionnel à la vitesse, est nul. À l'équilibre, le principe d'inertie impose que les deux forces se compensent, d'où ρ = ρ_l(T) : la boule a la même masse volumique que le liquide.

Comme toutes les boules ont le même volume, elles subissent la même poussée ; seules leurs masses diffèrent. Une boule plus dense que le liquide descend, une boule moins dense monte. Lorsque la température augmente, la masse volumique du liquide diminue, la poussée aussi, et la boule 1 se met à descendre. C'est exactement le principe de la mesure : à chaque degré gagné, une boule de plus coule.

Partie 2 : le mouvement d'une boule

La boule descend en subissant trois forces : le poids vers le bas, la poussée et le frottement fluide f = k v vers le haut. Le schéma de la question 2.1 doit être cohérent avec une descente accélérée : la flèche du poids est plus longue que la somme des deux autres. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe Oz dirigé vers le bas conduit à dv/dt = A − B v, avec A = g(1 − ρ_l(T) V_b/m) et B = k/m. Le corrigé vérifie que les données redonnent bien A = 9,5 × 10⁻³ m·s⁻² et B = 7,3 × 10⁻¹ s⁻¹.

Quand la vitesse limite est atteinte, dv/dt = 0, donc v_lim = A/B = 1,3 × 10⁻² m·s⁻¹, soit 13 mm·s⁻¹ : c'est bien la valeur du palier de la courbe fournie, graduée en millimètres par seconde.

La méthode d'Euler

La question 2.4 fait compléter le tableau avec un pas de 0,10 s. À chaque date, on calcule Δv = (A − B v) Δt, puis la vitesse suivante. On obtient Δv(t₀) = 9,5 × 10⁻⁴ m·s⁻¹, v(t₁) = 9,5 × 10⁻⁴ m·s⁻¹, v(t₂) = 1,8 × 10⁻³ m·s⁻¹ et Δv(t₂) = 8,2 × 10⁻⁴ m·s⁻¹. La courbe montre ensuite un régime transitoire jusqu'à 7 s environ, puis un régime permanent où la vitesse reste égale à v_lim.

Le temps caractéristique se lit à l'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote horizontale : τ ≈ 1,4 s, ce que confirme le calcul 1/B. Enfin, le pas Δt = 0,10 s est environ 14 fois plus petit que τ : le régime transitoire est décrit par de nombreux points, sans multiplier inutilement les calculs.

Conseils

Soignez les schémas de forces et le choix de l'axe, car tous les signes de l'équation différentielle en dépendent. Vérifiez toujours les unités des courbes avant de comparer un résultat calculé à une lecture graphique. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la copie attendue, les schémas et les écrans de calculatrice.