Ce document présente le corrigé complet d'une évaluation de mathématiques de niveau Seconde portant sur le chapitre des probabilités. Ce contrôle d'une heure est un excellent outil de révision, couvrant les notions fondamentales à travers cinq exercices variés. Vous y trouverez des questions à choix multiples (QCM) pour tester vos connaissances théoriques, ainsi que des problèmes concrets impliquant des tirages dans une urne, des lancers de dés (truqués ou non) et de pièces. Ce sujet corrigé vous aidera à maîtriser la détermination d'un univers, le calcul de probabilités d'événements simples et complexes (union, intersection, événement contraire), la construction d'arbres de probabilités et l'établissement de lois de probabilité.
Exercice 1 : QCM sur les bases des probabilités
Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) de quatre questions conçu pour vérifier la maîtrise des définitions et formules essentielles du cours de probabilités. Chaque question propose une seule bonne réponse.
- Question 1 : Identification de l'univers ($ \Omega $) d'une expérience aléatoire. L'exemple est un lancer de dé tétraédrique numéroté de 1 à 4. Il s'agit de reconnaître la bonne notation ensembliste pour l'ensemble des issues possibles, soit $ \Omega = \{1; 2; 3; 4\} $.
- Question 2 : Connaissance de la formule de la probabilité de la réunion de deux événements A et B. La formule correcte à identifier est $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $.
- Question 3 : Lecture d'un diagramme de Venn. La question demande d'identifier la zone correspondant à l'intersection des événements A et B, notée $ P(A \cap B) $.
- Question 4 : Calcul d'une probabilité dans un cas d'équiprobabilité. L'expérience consiste à faire tourner une roue divisée en 8 secteurs. Il faut calculer la probabilité de l'événement "Le numéro est strictement supérieur à 3", ce qui revient à compter les issues favorables (5, à savoir 4, 5, 6, 7, 8) sur le nombre total d'issues (8).
Exercice 2 : Probabilités avec un tirage dans une urne
Cet exercice met en application les calculs de probabilités dans un contexte classique de tirage de boules. L'urne contient 100 boules de différentes couleurs (rouge, verte, bleue, jaune) et portant différents numéros (1 ou 2). Les événements étudiés sont A : "la boule tirée est rouge" et B : "la boule tirée porte le numéro 2".
Les questions amènent à calculer :
- La probabilité de l'événement A, $ P(A) $, en dénombrant les boules rouges.
- La probabilité de l'événement contraire $ \bar{A} $, en utilisant la formule $ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $.
- La probabilité de l'événement B, $ P(B) $, en comptant toutes les boules numérotées 2.
- La description et le calcul de la probabilité de l'intersection $ A \cap B $ ("la boule est rouge ET porte le numéro 2").
- La description et le calcul de la probabilité de l'union $ A \cup B $ ("la boule est rouge OU porte le numéro 2"), en appliquant la formule générale vue dans l'exercice 1.
Exercice 3 : Lancer d'un dé truqué et loi de probabilité
Cet exercice aborde une situation non équiprobable avec un dé à 6 faces truqué. Il est essentiel pour comprendre comment établir une loi de probabilité.
Les étapes de résolution sont les suivantes :
- Déterminer la probabilité de chaque issue : Sachant que les faces 1 à 5 ont la même probabilité $ p $ et que la face 6 a une probabilité de $ \frac{1}{2} $, il faut utiliser l'axiome que la somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1. On résout donc l'équation $ 5p + \frac{1}{2} = 1 $ pour trouver $ p $.
- Établir la loi de probabilité : Une fois $ p $ calculé, on présente les résultats dans un tableau associant chaque issue à sa probabilité.
- Calculer des probabilités d'événements : Il est ensuite demandé de calculer la probabilité d'événements comme "obtenir un nombre inférieur ou égal à 5" ou "obtenir un nombre pair", en additionnant les probabilités des issues correspondantes.
Exercice 4 : Construction d'un arbre de probabilités
Cet exercice se concentre sur la modélisation d'une expérience aléatoire composée, ici le lancer successif d'une pièce de monnaie trois fois de suite. L'objectif est de visualiser toutes les issues possibles.
- Construction de l'arbre : La première question demande de dessiner un arbre des possibles (ou arbre de probabilités) pour représenter les 8 issues de l'expérience (de PPP à FFF).
- Détermination de l'univers : À partir de l'arbre, il faut lister explicitement l'ensemble $ \Omega $ de toutes les issues.
- Justification de l'équiprobabilité : Il faut expliquer pourquoi chaque issue a la même probabilité de se réaliser ($ \frac{1}{8} $), en s'appuyant sur le fait que la pièce est "parfaitement équilibrée".
Exercice 5 : Événements incompatibles (disjoints)
Ce dernier exercice, très court, permet de vérifier la compréhension de la notion d'événements incompatibles. Si deux événements A et B sont incompatibles, cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, donc leur intersection est vide ($ A \cap B = \emptyset $) et sa probabilité est nulle ($ P(A \cap B) = 0 $).
À partir de $ P(A) = 0,2 $ et $ P(B) = 0,7 $, il faut calculer :
- $ P(\bar{B}) $, la probabilité de l'événement contraire de B.
- $ P(A \cup B) $, qui se simplifie ici en $ P(A) + P(B) $ du fait de l'incompatibilité.