Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner sur le chapitre de la géométrie dans l'espace. D'une durée d'une heure, cette évaluation porte spécifiquement sur les représentations paramétriques de droites et leurs applications : intersections, parallélisme, et position relative dans l'espace. Ce sujet est un classique du baccalauréat et sa maîtrise est essentielle.

Le contrôle est divisé en deux exercices qui balayent les compétences fondamentales liées aux droites et aux plans dans un repère orthonormé.

Exercice 1 : Étude de droites et d'un plan

Cet exercice se concentre sur la manipulation des représentations paramétriques de droites dans l'espace.

• Question 1.a : Il est demandé de vérifier une représentation paramétrique d'une droite \((d_1)\) passant par deux points A(1; -2; -1) et B(3; -5; -2). La méthode consiste à d'abord calculer les coordonnées du vecteur directeur \(\vec{AB}\) :
  \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2; -3; -1)\).
  Ce vecteur doit être colinéaire au vecteur directeur donné dans la représentation, soit \(\vec{u}(2; -3; -1)\). Ils sont ici identiques. Ensuite, on vérifie que l'un des points (par exemple A) appartient à la droite en trouvant une valeur du paramètre \(t\) qui vérifie les trois équations. Pour \(t=0\), on retrouve bien les coordonnées de A.
• Question 1.b : Pour déterminer si un point C(-2; 2,5; 1) appartient à la droite \((d_1)\), on substitue ses coordonnées dans le système d'équations paramétriques. On obtient un système de trois équations à une inconnue \(t\). Si les trois équations donnent la même valeur pour \(t\), le point appartient à la droite. Sinon, il n'appartient pas.
• Question 2 : Cette question aborde un point clé : la recherche du point d'intersection de deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\). La démarche est de poser que les coordonnées sont égales, ce qui conduit à un système de 3 équations à 2 inconnues (les paramètres \(t\) et \(r\)). On résout le système avec deux équations, puis on vérifie si la solution trouvée est compatible avec la troisième équation. Si oui, les droites sont sécantes et on calcule les coordonnées du point d'intersection.
• Question 3 : Pour démontrer que deux droites \((d_1)\) et \((d_3)\) sont non coplanaires, il faut vérifier deux conditions. D'abord, qu'elles ne sont pas parallèles en montrant que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Ensuite, qu'elles ne sont pas sécantes en montrant que le système d'équations pour l'intersection n'admet aucune solution.
• Question 4 : Il s'agit de trouver l'intersection d'une droite et d'un plan. Le plan \(P\) est parallèle au plan \((O; \vec{i}, \vec{j})\), qui a pour équation \(z=0\). Comme \(P\) passe par F(0; 0; 4), son équation est simplement \(z=4\). On injecte alors les équations de \((d_1)\) dans celle du plan pour trouver la valeur du paramètre \(t\) correspondant au point d'intersection, puis on en déduit ses coordonnées.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec justifications

Ce second exercice teste la compréhension des positions relatives des objets de l'espace à travers cinq affirmations à justifier. Cela demande de la rigueur et une bonne connaissance des propriétés des vecteurs.

• Affirmation 1 : Pour savoir si la droite \(d\) et la droite \((AB)\) sont parallèles, on compare leurs vecteurs directeurs. Le vecteur directeur de \(d\) est donné par la représentation paramétrique. On calcule les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) et on vérifie si les deux vecteurs sont colinéaires.
• Affirmation 2 : Une droite \(d'\) est parallèle à un plan \((ABC)\) si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. Il faut donc d'abord déterminer un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan \((ABC)\), par exemple en calculant le produit vectoriel \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\). Ensuite, on calcule le produit scalaire entre \(\vec{n}\) et le vecteur directeur de \(d'\). S'il est nul, l'affirmation est vraie.
• Affirmation 3 : C'est la même compétence qu'à la question 1.b de l'exercice 1. On vérifie si les coordonnées du point D vérifient la représentation paramétrique de la droite \(d'\) pour une unique valeur du paramètre.
• Affirmation 4 : Pour que \((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\) forme un repère de l'espace, il faut que les trois vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) ne soient pas coplanaires. On le vérifie en calculant leur produit mixte, qui correspond au déterminant de la matrice 3x3 formée par leurs coordonnées. Si ce déterminant est différent de zéro, les vecteurs forment une base.
• Affirmation 5 : Pour déterminer si deux droites \(d\) et \((AD)\) sont coplanaires, on étudie leur position relative. On vérifie d'abord si elles sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires). Si ce n'est pas le cas, on cherche si elles ont un point d'intersection. Si elles sont soit parallèles, soit sécantes, alors elles sont coplanaires.

Ce sujet de contrôle est un excellent outil de préparation pour le bac. Chaque question cible un savoir-faire précis de la géométrie dans l'espace, un chapitre à forte pondération à l'examen.