Le cyclotron Arronax : de l'accélération d'un ion au traceur médical

Le premier exercice du bac 2026 de physique-chimie en Centres étrangers 1 (jour 2) pèse 11 points sur 20, plus de la moitié de l'épreuve. Il suit un ion hydrure H^- accéléré dans le cyclotron Arronax pour produire du fluor 18, le traceur radioactif utilisé en imagerie médicale. Deux grands blocs se succèdent : la mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme, puis la physique nucléaire, de la réaction de production jusqu'à la décroissance du traceur dans le corps du patient.

Questions 1 à 6 : l'ion dans la zone accélératrice

La question 1 demande de montrer que le poids est négligeable devant la force électrique. Il faut calculer les deux normes, avec U = 65 kV converti en volts et d = 5,0 mm converti en mètres, puis conclure par un rapport chiffré : la force électrique est environ 10¹⁴ fois plus grande. Comparer deux valeurs sans calculer leur rapport ne prouve rien. La question 2 est un schéma : la force électrique est dirigée dans le sens du mouvement, et comme la charge est négative, le champ électrique a le sens opposé. Dessiner les deux vecteurs dans le même sens est l'erreur la plus fréquente.

Les questions 3 et 4 déroulent la méthode classique : système, référentiel galiléen, deuxième loi de Newton, projection sur l'axe, puis primitives successives. Les deux signes négatifs, celui de la charge et celui du champ, se compensent et donnent une accélération positive et constante. Les constantes d'intégration doivent être justifiées par les conditions initiales : vitesse nulle et ion en O à la date zéro. La question 5 combine les deux équations horaires pour obtenir une vitesse de sortie qui ne dépend que de la tension, environ 3,5 × 10⁶ m/s. La question 6 vérifie alors que l'énergie cinétique vaut 1,0 × 10^-14 J.

Question 7 : le nombre de tours

Cette question ouverte demande de convertir l'énergie finale de 70 MeV en joules, puis de la diviser par le gain d'énergie à chaque passage. On obtient environ 1 120 passages entre les plaques. Le piège est de s'arrêter là : d'après la figure, l'ion traverse la zone accélératrice deux fois par tour, d'où environ 560 tours.

Questions 8 à 15 : le fluor 18, de sa production à sa disparition

Les équations nucléaires des questions 8 et 9 se vérifient par la conservation du nombre de masse et du nombre de charge. La désintégration bêta plus émet un positon, et non un électron : confondre les deux conduit à un mauvais noyau fils. La question 10 relie l'énergie du photon, 511 keV, à sa longueur d'onde, environ 2,43 pm, ce qui place le rayonnement dans le domaine gamma et justifie la gamma-caméra. Attention à convertir les keV en joules et à placer le dénominateur entre parenthèses à la calculatrice.

La fin de l'exercice porte sur la décroissance radioactive. Pour montrer qu'une exponentielle est solution de l'équation différentielle, on dérive et on compare, sans résoudre. La demi-vie se lit sur la courbe, environ 6,5 × 10³ s, et donne la constante radioactive. La question 14 exige de bien choisir la durée : l'analyse des clichés se termine 1 h 30 après l'injection, il reste alors environ 57 % du traceur. La question 15 se traite par le calcul, car la courbe s'arrête trop tôt : il faut environ 12 heures pour descendre sous 1 %. En passant au logarithme, le sens de l'inégalité change quand on divise par un nombre négatif.

Conseils pour cet exercice

Soignez les conversions d'unités, qui reviennent à presque chaque question, et gardez les valeurs non arrondies dans les calculs enchaînés. Rédigez la deuxième loi de Newton en entier et citez les conditions initiales. Enfin, reliez toujours un résultat numérique à ce que demande l'énoncé : un nombre de passages n'est pas un nombre de tours, une durée de 12 heures se commente au regard de la sortie du patient.