L'homme canon : la chute libre en situation

Le troisième exercice du bac 2024 Centres étrangers 1 Jour 1, noté sur 5 points, étudie le vol d'un homme canon entre la bouche du canon et le filet de réception. En huit questions, il combine deux approches du programme de terminale : le raisonnement énergétique, puis la deuxième loi de Newton et les équations horaires. Il se termine par une comparaison avec un record homologué, qui oblige à critiquer le modèle utilisé. C'est un exercice de cours, à condition de bien poser les conditions initiales.

Les passages clés, question par question

Q1 et Q2 : le raisonnement énergétique

À l'instant initial, le système est à la hauteur H avec la vitesse V₀ : E_m = ½ m V₀² + m g H. Il ne faut pas oublier le terme m g H, puisque la bouche du canon n'est pas au niveau du sol. Le poids étant la seule force et une force conservative, l'énergie mécanique se conserve. Comme le filet est à la même altitude que la bouche du canon (h = H = 8,0 m), la vitesse d'arrivée est égale à la vitesse de départ : 31 m/s. Aucun calcul numérique n'est nécessaire, la masse se simplifie.

Q3 : l'allure des énergies

L'énergie mécanique est constante. L'énergie potentielle augmente jusqu'au sommet puis revient à sa valeur initiale, et l'énergie cinétique varie en sens inverse. Le piège est d'annuler l'énergie cinétique au sommet : la vitesse y est horizontale et vaut V₀ cos α, donc l'énergie cinétique passe par un minimum non nul.

Q4 et Q5 : la deuxième loi de Newton et les équations horaires

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la seule force est le poids, d'où a = g : a_x = 0 et a_z = -g, le signe venant de l'axe vertical orienté vers le haut. Deux primitives successives, avec les conditions initiales sur la vitesse puis sur la position, donnent x(t) = (V₀ cos α) t et z(t) = -½ g t² + (V₀ sin α) t + H. La constante H est souvent oubliée : le système ne part pas de l'origine du repère.

Q6 et Q7 : durée du vol et portée

Au contact du filet, z = h = 8,0 m. Comme h = H, l'équation se factorise par t_V ; la solution nulle correspond au départ et l'autre donne t_V = 2 V₀ sin α / g = 4,5 s. La portée vaut alors x_V = 98 m, en gardant la valeur non arrondie de t_V. Attention au mode de la calculatrice : en radians, sin 45 donne un résultat faux.

Q8 : critiquer le modèle

Le record homologué est de 56,64 m. Le modèle prévoit une portée environ 1,7 fois plus grande : la chute libre n'est pas adaptée. À une vitesse de l'ordre de 30 m/s, l'action de l'air n'est pas négligeable et raccourcit nettement le vol.

Les pièges à éviter

Les erreurs les plus fréquentes sont le signe de a_z, l'oubli de la hauteur initiale dans z(t), l'énergie cinétique nulle au sommet et le calcul en radians. Pour la dernière question, il faut un rapport ou un écart chiffré avant de conclure.

Conseils pour réussir cet exercice

Commencez toujours par définir le système, le référentiel et le bilan des forces : ces trois éléments sont attendus. Pour les équations horaires, suivez l'enchaînement accélération, vitesse, position, avec une constante par coordonnée à chaque étape. Le corrigé détaillé reprend chaque intégration et le graphique des énergies.