Les bolomètres de Planck : un exercice de thermodynamique de 5 points
Le troisième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Polynésie (jour 1) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il porte sur les bolomètres embarqués à bord du satellite Planck, chargés de mesurer le fond diffus cosmologique, ou CMB. Le principe est simple : le rayonnement reçu échauffe très légèrement une partie sensible reliée à un thermostat très froid, et cet échauffement renseigne sur la puissance reçue. Les 8 questions suivent ce raisonnement, de la nature de l'onde jusqu'à la fiabilité de la mesure.
Le rayonnement reçu (Q1 et Q2)
La relation λ0 = c/f0 donne 1,38 mm, ce qui place l'onde dans le domaine des micro-ondes. Le piège est la fréquence, donnée en gigahertz : sans conversion en hertz, le résultat est absurde. Le nom anglais du CMB, qui contient le mot « microwave », permet de contrôler la réponse. La puissance reçue à travers le filtre s'obtient avec la loi fournie : il faut appliquer le facteur 0,252 et la puissance 4 sur la température pour retrouver 7,82 × 10−14 W.
Bilan thermique (Q3 à Q5)
La puissance reçue du thermostat s'écrit PT = −(T − TT)/Rcontact. Comme le thermostat est plus froid que la partie sensible, cette puissance est négative : la partie sensible cède de l'énergie. Une grandeur « reçue » est algébrique, et c'est ce que la justification du signe doit montrer.
Le transfert thermique total pendant Δt est la somme des puissances reçues multipliée par la durée. Erreur fréquente : écrire PCMB − PT, ce qui compte deux fois le signe moins. L'énoncé du premier principe, ΔU = W + Q, doit préciser le nom et l'unité de chaque grandeur, toutes en joules. Ici aucun travail n'est reçu, ce qui mène à l'équation différentielle donnée ensuite par le sujet.
Temps caractéristique et mesure (Q6 à Q8)
L'analyse dimensionnelle consiste à remplacer chaque grandeur par son unité : des K·W−1 multipliés par des J·K−1 donnent des J/W, donc des secondes, puisqu'un watt vaut un joule par seconde. On calcule τ = 1,5 ms, avec deux chiffres significatifs seulement.
Pour trouver T1, la méthode efficace est le régime permanent : la dérivée s'annule dans l'équation et l'exponentielle tend vers zéro dans la solution. On obtient T1 = Rcontact × PCMB = 2,93 × 10−4 K, un échauffement minuscule mais proportionnel à la puissance reçue. Enfin, la mesure est fiable au bout de 5τ = 7,5 ms, durée inférieure aux 14 ms pendant lesquelles chaque zone du ciel est balayée. Comparer τ seul aux 14 ms serait une erreur : au bout de τ, l'échauffement n'atteint que 63 % de sa valeur finale.
Conseils
Ce sujet impressionne par son contexte, mais les calculs restent courts. Lisez attentivement les relations fournies, suivez les conventions de signe et convertissez les unités avant tout calcul.