Tomographie par émission de positons : chimie, radioactivité et cyclotron

Ce deuxième exercice est le plus long de l'épreuve : 10 points, soit environ 1 h 40. Il suit la chaîne de production du FDG, une molécule marquée au fluor 18 injectée aux patients pour l'imagerie médicale. Trois parties indépendantes se succèdent : la synthèse organique du FDG, la préparation d'un flacon conforme aux consignes de sécurité, puis l'accélération des protons dans le cyclotron qui produit le fluor 18.

Partie 1 : la synthèse du FDG

L'étape 1 est une substitution : le groupe O–Tf porté par un carbone est remplacé par un atome de fluor 18. Pour le mécanisme, deux flèches courbes suffisent : la première part d'un doublet non liant de l'ion fluorure et pointe vers le carbone, la seconde part du doublet de la liaison C–O et pointe vers l'oxygène, qui emporte le doublet. La recherche des carbones asymétriques est un classique piège de la formule topologique : les hydrogènes ne sont pas dessinés. Le FDG en compte cinq, tous situés sur le cycle ; le carbone du groupe CH₂OH, qui porte deux hydrogènes, ne l'est pas.

Partie 2 : le flacon de FDG

La dilution conserve la quantité de soluté : C_f = C₀V₀/V_f = 8,3 × 10^-9 mol/L. Pour l'activité, on calcule le nombre de molécules N = C₀V₀N_A, puis A = λN = 7,9 × 10⁹ Bq, inférieure à la limite de 1,0 × 10¹⁰ Bq. Le volume doit alors être en litres. L'estimation du nombre de patients exige une donnée absente : la masse d'un adulte, prise vers 70 kg. On trouve environ 30 patients ; arrondir à 31 serait une erreur, car le flacon ne contient pas de quoi faire une 31e injection complète.

Partie 3 : le cyclotron

Le proton, de charge positive, doit être accéléré de O vers O' : la force électrique et le champ ont donc le même sens. Les dessiner en sens contraires reviendrait à traiter un électron. La deuxième loi de Newton, appliquée au proton dans le référentiel du laboratoire en négligeant le poids, donne une accélération constante a = eE/m_p. Deux intégrations successives, avec des constantes fixées par les conditions initiales, conduisent à x(t) = e|U|t²/(2m_pd).

La durée de la traversée se déduit de x = d : Δt₁ ≈ 1,7 × 10^-9 s, soit environ 2 ns. Le demi-tour dans le dee correspond à un demi-cercle de longueur πR, et non 2πR. En remplaçant R par son expression, on obtient Δt₂ = πm_p/(eB), indépendante de la vitesse : tous les demi-tours ont la même durée, environ 20 ns, dix fois plus que Δt₁.

La dernière question est la plus exigeante. À chaque traversée, le proton gagne e|U| = 30 keV ; il en faut environ 533 pour atteindre 16 MeV, soit près de 267 tours, puisque chaque tour comporte deux traversées. La durée totale, environ 11 µs, s'accorde avec la dizaine de microsecondes annoncée dans le texte.

Conseils

Travaillez en électronvolts pour les énergies du cyclotron, écrivez explicitement les constantes d'intégration et vérifiez le sens des vecteurs selon le signe de la charge. Le carbone asymétrique et le champ magnétique ne sont plus au programme actuel de spécialité, mais l'énoncé fournit ce qu'il faut pour répondre.