Oui
Radioactivité et nucléaire
Lumière et dualité onde-particule
Sujet Bac Corrigé - Technétium en médecine - Métropole Septembre Secours 2025 - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 septembre 2025
Terminale spécialité
Comment un noyau radioactif aide-t-il les médecins à voir l'intérieur du corps ? Cet exercice de 6 points t'emmène en scintigraphie avec le technétium 99.
- Composition des noyaux, isotopes et désintégration β-
- Temps de demi-vie et durée d'utilisation d'une source
- Relation de Planck-Einstein et rayons γ
- Loi de décroissance et activité d'un échantillon
- Comparaison avec le thallium 201
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Corrigé interactif · 11 questions
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Q1Donner la composition du noyau de molybdène 99.
Données utiles diagramme (N,Z) : 4299Mo
Le noyau 4299Mo a pour numéro atomique Z=42 et pour nombre de masse A=99.
Nombre de neutrons : N=A−Z=99−42=57.
Le noyau de molybdène 99 contient 42 protons et 57 neutrons.
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Q2Rappeler la définition des termes « noyaux isotopes ». En déduire, à l'aide du diagramme (N,Z), deux isotopes stables du molybdène 99.
Des noyaux isotopes ont le même nombre de protons Z (même élément chimique) mais des nombres de neutrons différents, donc des nombres de masse A différents.
Les isotopes du molybdène 99 sont dans la colonne Z=42 du diagramme. Les cases grisées de cette colonne correspondent aux noyaux stables.
4297Mo et 4298Mo sont deux isotopes stables du molybdène 99.
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Q3Écrire l'équation de la désintégration des noyaux de molybdène 99 en noyaux de technétium 99. Donner le nom de la particule émise.
On note ZAX la particule émise : 4299Mo→ 4399Tc+ ZAX.
Conservation du nombre de masse : 99=99+A, donc A=0.
Conservation du nombre de charge : 42=43+Z, donc Z=−1.
4299Mo→ 4399Tc+ −1 0e : la particule émise est un électron (radioactivité β−).
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Q4Après avoir rappelé la définition du temps de demi-vie, justifier que les services de médecine nucléaire bénéficient d'une source de technétium 99 pour quelques jours seulement.
Données utiles t1/2(99Mo)=66 h ; t1/2(99Tc∗)=6 h
Le temps de demi-vie t1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents dans un échantillon s'est désintégrée.
Le technétium 99 a une demi-vie de 6 h seulement : il disparaît en un peu plus d'une journée et ne peut pas être stocké. Dans le mélange reçu, il est renouvelé par la désintégration du molybdène 99.
Or le nombre de noyaux de molybdène 99 est divisé par deux toutes les 66 h, soit environ 2,75 jours. Au bout de trois demi-vies (198 h, un peu plus de 8 jours), il n'en reste que 231=81.
La production de technétium 99 devient trop faible après quelques demi-vies du molybdène 99, donc après quelques jours.
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Q5Vérifier que l'énergie des photons émis par le 99Tc∗ est compatible avec l'utilisation d'une gamma-caméra.
Données utiles ETc=141 keV ; h=6,63×10−34 J⋅s ; 1 eV=1,60×10−19 J ; rayons γ : ν>3×1019 Hz
Relation de Planck-Einstein : ETc=hν, donc ν=hETc, avec ETc en joules.
ν=6,63×10−34141×103×1,60×10−19=3,40×1019 Hz
Cette fréquence est supérieure à 3×1019 Hz : les photons appartiennent au domaine des rayons γ.
ν=3,40×1019 Hz>3×1019 Hz : rayonnement γ, détectable par une gamma-caméra.
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Q6Justifier l'utilisation d'un protège-seringue possédant un blindage à base de verre au plomb pour l'injection de la solution au patient.
La solution contenue dans la seringue émet des rayons γ. Ces photons très énergétiques (141 keV) sont des rayonnements ionisants, très pénétrants, capables d'endommager les cellules et leur ADN.
Le plomb, matériau très dense, absorbe une grande partie de ce rayonnement ; le verre laisse voir le contenu de la seringue.
Le blindage au plomb protège le personnel soignant, exposé de façon répétée, en absorbant les rayons γ émis par la solution.
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Q7Résoudre l'équation différentielle afin d'exprimer N(t) en fonction du nombre initial de noyaux N0 et de la constante radioactive λ.
Données utiles dtdN(t)+λN(t)=0
Indice Équation y′=ay : 1) isoler la dérivée et repérer a ; 2) écrire y=Keat ; 3) trouver K avec la condition initiale. Toujours les mêmes trois étapes.
L'équation s'écrit dtdN=−λN : elle est de la forme y′=ay avec a=−λ.
Ses solutions sont N(t)=Ke−λt, où K est une constante.
Condition initiale : N(0)=N0, soit Ke0=N0, donc K=N0.
N(t)=N0e−λt
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Q8Montrer que l'activité s'écrit A(t)=A0e−λt, avec A0 l'activité initiale injectée au patient.
Données utiles A(t)=λN(t) ; N(t)=N0e−λt (Q7)
A(t)=λN(t)=λN0e−λt.
À t=0 : A0=A(0)=λN0.
A(t)=λN0e−λt=A0e−λt
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Q9Montrer que la constante radioactive et le temps de demi-vie sont reliés par λ=t1/2ln(2).
Données utiles N(t)=N0e−λt (Q7)
Par définition de la demi-vie : N(t1/2)=2N0.
Avec la loi de décroissance : N0e−λt1/2=2N0, soit e−λt1/2=21.
On prend le logarithme : −λt1/2=ln(21)=−ln(2).
λt1/2=ln(2), donc λ=t1/2ln(2)
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Q10Déterminer la durée pendant laquelle le patient doit respecter les précautions, la baisse de l'activité n'étant due qu'à la décroissance radioactive.
Données utiles précautions tant que A(t)>3 % de A0 ; t1/2=6 h ; A(t)=A0e−λt (Q8) ; λ=t1/2ln(2) (Q9)
Indice Vérification rapide : au bout de 5 demi-vies, l'activité est divisée par 25=32, soit environ 3 % de A0. Et 5×6=30 h.
Les précautions cessent à la date t telle que A(t)=0,03A0 :
A0e−λt=0,03A0, soit e−λt=0,03, donc −λt=ln(0,03).
t=−λln(0,03)=−ln(2)t1/2ln(0,03)
t=−ln(2)6×ln(0,03)=30 h
t≈30 h : le patient respecte les précautions pendant un peu plus d'une journée.
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Q11Identifier, en justifiant, un avantage et un inconvénient au remplacement du technétium 99 par du thallium 201.
Données utiles thallium 201 : t1/2=3,04 jours, 0,8267 €/MBq, 1 injection ; technétium 99 : t1/2=6 h, 0,0378 €/MBq, 2 injections
Avantage. L'examen au thallium 201 ne demande qu'une seule injection au lieu de deux. De plus, sa demi-vie (3,04 jours, soit 73 h) est douze fois plus longue : il se transporte et se conserve plus facilement, et il ne dépend pas du molybdène 99 en pénurie.
Inconvénient. Le coût par mégabecquerel est bien plus élevé : 0,03780,8267≈22. La longue demi-vie fait aussi que l'activité décroît lentement dans le corps : avec le critère de Q10, les précautions dureraient environ 15 jours au lieu de 30 h.
Avantage : une seule injection (et pas de dépendance au molybdène 99). Inconvénient : coût environ 22 fois plus élevé par MBq (et patient radioactif plus longtemps).
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Physique nucléaire au service de l'imagerie médicale
Ce troisième exercice, noté sur 6 points et prévu pour environ 1 h 03, s'intéresse au technétium 99, utilisé en scintigraphie. Il couvre la composition des noyaux, les isotopes, la désintégration β-, le temps de demi-vie, la relation de Planck-Einstein, puis la loi de décroissance radioactive et l'activité d'un échantillon. Les calculs sont courts, mais chaque réponse doit être justifiée avec précision.
Noyaux, isotopes et désintégration (Q1 à Q3)
Le noyau de molybdène 99 contient 42 protons et 57 neutrons : le nombre de masse compte tous les nucléons, il ne faut pas le confondre avec le nombre de neutrons. Des isotopes ont le même numéro atomique et des nombres de neutrons différents ; on les cherche donc dans la colonne Z = 42 du diagramme (N,Z), parmi les cases des noyaux stables, par exemple le molybdène 97 et le molybdène 98. Le technétium 99, de même nombre de masse mais de numéro atomique différent, n'est pas un isotope. L'équation de désintégration s'obtient avec les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge : la particule émise est un électron, il s'agit d'une radioactivité β-.
Demi-vie et énergie des photons (Q4 à Q6)
Après avoir défini le temps de demi-vie, il faut comprendre que c'est le molybdène 99, noyau père de demi-vie 66 h, qui fixe la durée d'utilisation de la source : au bout de trois demi-vies, un peu plus de 8 jours, il n'en reste qu'un huitième. Raisonner avec la demi-vie du technétium (6 h) est le piège principal. Pour les photons, la relation de Planck-Einstein donne une fréquence de 3,40 × 1019 Hz, supérieure à 3 × 1019 Hz : il s'agit bien de rayons γ, détectables par une gamma-caméra. Les deux conversions, du keV vers l'eV puis de l'eV vers le joule, sont indispensables. Le blindage au plomb protège surtout le personnel soignant, exposé de façon répétée à ce rayonnement ionisant.
Loi de décroissance et durée des précautions (Q7 à Q10)
L'équation différentielle se résout en trois étapes : forme y' = ay, solution générale, puis constante fixée par la condition initiale. On obtient N(t) = N0 e-λt, dont on déduit l'activité A(t) = A0 e-λt. La relation entre λ et la demi-vie se démontre à partir de la définition de la demi-vie, sans partir du résultat. Le patient doit respecter des précautions tant que l'activité dépasse 3 % de sa valeur initiale, soit environ 30 h. Une vérification rapide existe : cinq demi-vies divisent l'activité par 32.
Comparer avec le thallium 201 (Q11)
La dernière question demande un avantage et un inconvénient, chacun appuyé sur une donnée chiffrée. Le thallium 201 ne nécessite qu'une seule injection et ne dépend pas du molybdène 99. En revanche, son coût par mégabecquerel est environ 22 fois plus élevé, et sa longue demi-vie prolonge l'exposition du patient.
Conseils pour réussir
Soignez les définitions, qui rapportent des points faciles, écrivez les conversions d'unités et reliez toujours une donnée du tableau à sa conséquence concrète lorsque la question demande de justifier.