Césium 137 et trinitite : un exercice de 5 points sur la radioactivité

Le deuxième exercice du bac 2026 de physique-chimie aux Antilles (jour 1) est le plus court de l'épreuve : 5 points et 9 questions. Il part du césium 137 produit lors de l'essai nucléaire Trinity et contenu dans la trinitite, ce verre formé dans le sable du désert. Le fil conducteur est la loi de décroissance radioactive, de l'équation différentielle jusqu'à une question ouverte sur la détention d'un échantillon en 2026.

Le noyau et sa désintégration (Q1 et Q2)

Le noyau de césium 137 contient 55 protons et 137 − 55 = 82 neutrons. L'erreur classique consiste à annoncer 137 neutrons, alors que 137 est le nombre de nucléons ; il ne faut pas non plus parler d'électrons, qui n'appartiennent pas au noyau. L'équation de désintégration s'écrit avec les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge : le noyau fils étant le baryum 137 (Z = 56), la particule émise est un électron, et la désintégration est de type β^-.

De l'équation différentielle à la demi-vie (Q3 à Q6)

En égalant les deux expressions de l'activité, A = −dN/dt et A = λN, on obtient dN/dt = −λN. Pour vérifier que N(t) = N₀e^−λt est solution, on ne résout rien : on dérive, on remplace, on constate l'égalité, et l'on contrôle la condition initiale N(0) = N₀. La relation t_1/2 = ln(2)/λ se démontre à partir de la définition de la demi-vie, N(t_1/2) = N₀/2, point de départ à écrire explicitement. Sur la courbe de l'annexe, l'horizontale à 50 % donne t_1/2 ≈ 30 ans, d'où λ ≈ 2,3 × 10^-2 an^-1. Une vérification rapide : à 60 ans, la courbe passe par 25 %.

Python et activité (Q7 et Q8)

La ligne de programme attendue est pourcentage = 100*np.exp(-0.023*t). Trois fautes reviennent souvent : oublier le signe moins, écrire une virgule décimale à la place du point, omettre le symbole de multiplication. L'expression de l'activité découle ensuite directement de A = λN : A(t) = A₀e^−λt avec A₀ = λN₀. L'activité décroît donc avec la même demi-vie que le nombre de noyaux.

La question ouverte (Q9)

La mesure de référence date de 2010 : 48,3 Bq pour un gramme. La durée à prendre est donc 16 ans, et non le temps écoulé depuis 1945. On obtient 33,4 Bq pour un gramme en 2026. Le corrigé signale une ambiguïté de l'énoncé : rédigé comme une activité massique de 10 Bq par gramme, le seuil serait déjà dépassé pour toute masse. En l'interprétant comme une activité de 10 Bq pour l'échantillon, on trouve une masse limite d'environ 0,30 g, très faible : presque tout fragment de trinitite impose une demande de détention.

Conseils

Gardez λ en an^-1 et les durées en années, sans passer par les secondes. Dans une question ouverte, annoncez les étapes, écrivez l'hypothèse d'interprétation choisie et terminez par une phrase de conclusion : une démarche claire est valorisée même si l'énoncé prête à discussion.