Oui
Satellites et lois de Kepler
Lunette et instruments d'optique
Sujet Bac Corrigé - Découverte de Neptune - Métropole Septembre 2024 Jour 1 - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 septembre 2024
Terminale spécialité
🔭 Comment a-t-on trouvé Neptune par le calcul avant de la voir ? L'exercice 2 du bac 2024 de physique-chimie en Métropole (septembre, jour 1), sur 5 points, refait le chemin de la prédiction de Le Verrier à l'observation de Galle.
- Lois de Kepler : position du Soleil sur l'ellipse, troisième loi, période de l'orbite prévue.
- Incertitudes : comparaison à la valeur de référence avec le quotient écart sur incertitude-type.
- Lunette afocale : diamètre apparent, marche des rayons, grossissement et pouvoir séparateur de l'œil.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
Fiche de cours
Satellites et lois de Kepler — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
Voir la fiche de coursCet exercice mobilise aussi : Lunette astronomique
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Corrigé interactif · 9 questions
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Q1Nommer la position particulière occupée par le Soleil pour l'ellipse de la figure 1 et préciser le nom de l'astronome qui a établi ce résultat.
Sur la figure 1, le Soleil n'est pas au centre O de l'ellipse : il occupe l'un des deux foyers de l'ellipse.
Ce résultat est la première loi de Kepler (loi des orbites).
Le Soleil est à l'un des foyers de l'ellipse ; résultat établi par Johannes Kepler.
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Q2Justifier que la période de révolution de Neptune est plus grande que celle d'Uranus.
Pour tous les objets en orbite autour du Soleil, a3T2=k avec k constante, donc T2=ka3 : la période T augmente quand le demi-grand axe a augmente.
Neptune est plus éloignée du Soleil qu'Uranus : aN>aU, donc kaN3>kaU3, soit TN2>TU2.
TN>TU : la période de révolution de Neptune est plus grande que celle d'Uranus.
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Q3Déterminer, à l'aide de aReˊf U, TReˊf U et aVerrier N, la valeur en années de la période de révolution TVerrier N de Neptune pour l'orbite prévue par Le Verrier.
Données utiles aReˊf U=19,2 UA ; TReˊf U=84,1 ans ; aVerrier N=36,2 UA
Uranus et Neptune tournent autour du Soleil, le rapport a3T2 est le même :
aVerrier N3TVerrier N2=aReˊf U3TReˊf U2doncTVerrier N=TReˊf U×(aReˊf UaVerrier N)3
TVerrier N=84,1×(19,236,2)3=218 ans
TVerrier N=218 ans
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Q4Discuter de l'accord du résultat de TVerrier N avec la valeur de référence actuelle TReˊf N.
Données utiles TVerrier N=218 ans (Q3) ; u(TVerrier N)=13 ans ; TReˊf N=165 ans
Indice Le quotient compte l'écart en nombre d'incertitudes-types. Critère usuel : jusqu'à 2, le résultat est compatible avec la référence ; au-delà, il ne l'est pas. Toujours conclure par une phrase.
On calcule le quotient :
u(TVerrier N)∣TVerrier N−TReˊf N∣=13∣218−165∣≈4,1
L'écart entre la valeur de Le Verrier et la valeur de référence vaut environ 4 incertitudes-types : ce quotient est supérieur à 2.
Quotient ≈4,1>2 : la valeur TVerrier N n'est pas en accord avec la valeur de référence.
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Q5À l'aide de la figure 2, comparer qualitativement le demi-grand axe de l'orbite prédite par Le Verrier à celui de l'orbite réelle de Neptune. Montrer la cohérence avec les résultats de la question Q3.
Données utiles TVerrier N=218 ans (Q3) ; TReˊf N=165 ans
Sur la figure 2, l'orbite prédite par Le Verrier est plus étendue que l'orbite réelle de Neptune, qu'elle entoure presque partout : son demi-grand axe est plus grand que celui de l'orbite réelle.
Cohérence avec Q3 : la période calculée pour l'orbite de Le Verrier (218 ans) est plus grande que la période réelle (165 ans). Or a3T2 est constant : une période plus grande correspond à un demi-grand axe plus grand.
aVerrier N>areˊel N, en accord avec TVerrier N>TReˊf N.
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Q6Montrer que la valeur de l'angle θ sous lequel Neptune est vue à l'œil nu depuis la Terre est voisine de 1,1×10−5 rad.
Données utiles D=4,95×104 km ; dT−N=4,4×109 km
Neptune, de diamètre D, est vue depuis la Terre à la distance dT−N : tanθ=dT−ND.
L'angle est très petit, donc tanθ=θ :
θ=dT−ND=4,4×1094,95×104=1,1×10−5 rad
θ=1,1×10−5 rad : c'est bien la valeur attendue.
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Q7Expliquer pourquoi la figure 3 de l'annexe représente une lunette astronomique afocale.
Sur la figure 3, le foyer image F1′ de l'objectif est confondu avec le foyer objet F2 de l'oculaire.
L'objet AB est à l'infini : son image A1B1 par l'objectif se forme dans le plan focal image de l'objectif. Ce plan est aussi le plan focal objet de l'oculaire, donc l'oculaire donne de A1B1 une image finale à l'infini.
F1′ et F2 sont confondus : la lunette donne d'un objet à l'infini une image à l'infini, elle est afocale.
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Q8Sur la figure 3 de l'annexe, compléter la marche des trois rayons lumineux du faisceau incident issu de B à travers l'ensemble de la lunette.
Indice Pour la direction de sortie, tracer le rayon fictif qui irait de B1 au centre O2 : il ne serait pas dévié. Tous les rayons émergents lui sont parallèles.
- Le rayon qui passe par le centre optique O1 n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de l'objectif (perpendiculaire à l'axe en F1′) au point B1, image intermédiaire de B.
- Les deux autres rayons, parallèles au premier, sortent de L1 en passant aussi par B1.
- Les trois rayons se prolongent en ligne droite de B1 jusqu'à L2.
- B1 est dans le plan focal objet de L2 : les trois rayons sortent de L2 parallèles entre eux, parallèles à la droite (B1O2) tracée en pointillés.
Voir la figure 3 complétée : les rayons se croisent en B1 sous F1′, puis émergent parallèles à (B1O2).
Figure 3 complétée : les trois rayons se croisent en B1, dans le plan focal commun, puis ressortent parallèles à (B1O2)Tu avais trouvé ?
Q9Établir l'expression du grossissement G en fonction des distances focales f1′ et f2′, calculer l'angle θ′ sous lequel Galle a pu observer Neptune avec la lunette, puis commenter la phrase de Le Verrier.
Données utiles f1′=4,27 m ; f2′=28 mm ; θ=1,1×10−5 rad (Q6) ; pouvoir séparateur de l'œil : 3×10−4 rad
Expression de G. Dans le triangle O1F1′B1, rectangle en F1′ : tanθ=O1F1′A1B1=f1′A1B1.
Dans le triangle O2F2B1, rectangle en F2 : tanθ′=O2F2A1B1=f2′A1B1.
Les angles sont petits, donc θ=f1′A1B1 et θ′=f2′A1B1, d'où
G=θθ′=f2′A1B1×A1B1f1′=f2′f1′
Calcul de θ′, avec f2′=28×10−3 m :
G=28×10−34,27=1,5×102
θ′=G×θ=28×10−34,27×1,1×10−5=1,7×10−3 rad
Commentaire. À travers la lunette, θ′=1,7×10−3 rad est supérieur au pouvoir séparateur de l'œil (3×10−4 rad), environ 6 fois : l'œil distingue deux points opposés du bord de Neptune, la planète apparaît comme un petit disque. À l'œil nu, θ=1,1×10−5 rad est inférieur à 3×10−4 rad : Neptune serait réduite à un point, comme une étoile.
G=f2′f1′ ; θ′=1,7×10−3 rad>3×10−4 rad : Neptune est vue comme un disque, la phrase de Le Verrier est justifiée.
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La découverte de Neptune : mécanique céleste et optique en 5 points
Le deuxième exercice du bac 2024 de physique-chimie en Métropole, session de septembre (jour 1), compte pour 5 points, soit environ 53 minutes. Il raconte une histoire célèbre : Le Verrier prédit par le calcul l'existence et la position d'une planète, que Galle observe ensuite à la lunette. Les 9 questions mobilisent les lois de Kepler, la comparaison d'un résultat à une valeur de référence, puis la lunette astronomique afocale.
Les lois de Kepler (Q1 à Q3)
La première question est une question de cours : le Soleil occupe l'un des foyers de l'ellipse, et non son centre, résultat établi par Kepler. La question 2 se justifie par la troisième loi : le rapport T2/a3 est le même pour toutes les planètes du Soleil, donc la période augmente avec le demi-grand axe ; Neptune, plus éloignée, a une période plus grande qu'Uranus. La question 3 applique cette loi avec les données d'Uranus (19,2 UA et 84,1 ans) et le demi-grand axe prévu par Le Verrier (36,2 UA). On obtient une période de 218 ans. Aucune conversion n'est nécessaire, car le rapport des demi-grands axes est sans unité. Le piège est d'inverser les exposants ; un contrôle rapide consiste à vérifier que le résultat dépasse bien 84,1 ans.
Comparer à la valeur de référence (Q4 et Q5)
La question 4 utilise le quotient de l'écart par l'incertitude-type : |218 - 165| / 13 vaut environ 4,1. Ce quotient dépasse 2, donc la valeur de Le Verrier n'est pas compatible avec la période réelle de 165 ans. Il faut toujours conclure par une phrase. La question 5 se lit sur la figure : l'orbite prédite entoure presque partout l'orbite réelle, son demi-grand axe est plus grand. C'est cohérent avec une période calculée plus grande que la période réelle, puisque T2/a3 est constant.
Voir Neptune à la lunette (Q6 à Q9)
Le diamètre apparent se calcule avec l'approximation des petits angles : θ = D / d, soit 1,1 × 10-5 rad, les deux longueurs étant déjà en kilomètres. La lunette est afocale parce que le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire : d'un objet à l'infini, elle donne une image à l'infini. Pour la marche des rayons, le rayon passant par le centre optique de l'objectif n'est pas dévié et fixe le point B1 dans le plan focal ; les trois rayons s'y croisent puis ressortent parallèles à la droite (B1O2). L'erreur classique est de les faire converger au foyer, ce qui n'est vrai que pour des rayons parallèles à l'axe. Enfin, le grossissement G = f'1 / f'2 s'établit dans deux triangles rectangles ; avec f'2 converti en mètres, G vaut environ 1,5 × 102 et θ' = 1,7 × 10-3 rad.
Pièges et conseils
Le commentaire final compare θ' au pouvoir séparateur de l'œil, 3 × 10-4 rad : à travers la lunette, Neptune apparaît comme un petit disque, alors qu'à l'œil nu elle ne serait qu'un point. C'est ce disque qui distingue une planète d'une étoile. Oublier de convertir les millimètres donne G = 0,15, une lunette qui rétrécirait : vérifiez toujours que le grossissement est grand devant 1. Soignez enfin le tracé des rayons sur l'annexe, qui rapporte des points à lui seul.