Un détecteur d'humidité du sol : un exercice d'électricité de 6 points
Le troisième exercice du bac 2023 de physique-chimie en Métropole (jour 2) vaut 6 points, pour une durée conseillée d'environ 1 h 03. Il étudie un capteur qui mesure la teneur en eau d'un sol argileux. Le principe est élégant : le sol joue le rôle d'isolant entre les armatures d'un condensateur plan, et sa permittivité dépend de la quantité d'eau qu'il contient. En mesurant le temps caractéristique d'un circuit RC, un microcontrôleur remonte jusqu'à l'humidité du sol. Les neuf questions mêlent cours sur le circuit RC, exploitation d'un graphique et lecture d'un programme Python.
Capacité et équation différentielle (Q1 et Q2)
La première question est qualitative : la figure 2 montre que la permittivité augmente avec la teneur en eau, et la relation C = εS/d indique que la capacité lui est proportionnelle. La capacité augmente donc avec l'humidité. Pour établir l'équation différentielle, trois relations sont attendues une par une : la loi des mailles, la loi d'Ohm et i = C duC/dt. Passer directement au résultat coûte des points. Par identification, le temps caractéristique vaut τ = RC.
Solution et temps caractéristique (Q3 et Q4)
« Vérifier » ne demande pas de résoudre : on dérive la fonction proposée, on la reporte dans l'équation et on retrouve E, puis on contrôle que uC(0) = 0, ce qui traduit un condensateur initialement déchargé. L'erreur de signe dans la dérivée de l'exponentielle est le piège principal. En remplaçant t par τ, on obtient uC(τ) = E(1 - e-1), soit environ 0,63 E. Ce résultat, indépendant de R et de C, fournit une méthode simple pour mesurer τ.
Contrainte de mesure et teneur minimale (Q5 et Q6)
Le dispositif relève 52 000 valeurs par seconde et doit en obtenir au moins 10 avant l'instant τ. On trouve τmin = 1,9 × 10-4 s, soit 190 µs, de l'ordre de 200 µs. Une erreur de conversion des microsecondes fausse le résultat d'un facteur dix. La question 6 est à prise d'initiative : en combinant τ = RC et C = εS/d, on calcule une permittivité minimale de 9,1 × 10-11 F/m. L'axe de la figure étant gradué en 10-10 F/m, il faut lire l'ordonnée 0,91, qui correspond à une teneur en eau d'environ 15 %. Annoncer la démarche avant de la dérouler rapporte des points, même si elle reste inachevée.
Le programme Python et le diagnostic (Q7 à Q9)
L'extrait de programme relève un instant initial, attend que la tension atteigne un seuil, puis calcule la durée écoulée : il mesure le temps caractéristique. La condition de la boucle s'écrit donc tension < 0.63*E, avec un point comme séparateur décimal. Pour conclure, le programme affiche τ en millisecondes : il faut le convertir en secondes avant de calculer la permittivité, environ 1,3 × 10-10 F/m. La figure donne alors une teneur en eau d'environ 21 %, inférieure aux 24 % nécessaires à une croissance normale : il faut arroser.
Conseils pour réussir
Surveillez les puissances de dix et les unités des axes, et vérifiez la cohérence des résultats entre eux : la teneur mesurée doit dépasser la teneur minimale trouvée en Q6.