Le capteur d'arrosage capacitif : circuit RC et programmation sur 6 points
L'exercice 3 du bac 2023 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 1) vaut 6 points, soit environ 1 h 03 de travail. Il étudie un capteur d'humidité pour l'arrosage d'une plante : un condensateur dont la capacité change selon que le milieu est sec ou humide. La partie A relie capacité et permittivité, la partie B établit et résout l'équation de charge d'un circuit RC, la partie C exploite les mesures dans un script de microcontrôleur. C'est un exercice très guidé, où la rigueur de la rédaction compte autant que les résultats.
Partie A : la capacité dépend du milieu
En A.1, la capacité d'un condensateur plan est proportionnelle à la permittivité relative du milieu, car les autres grandeurs ne changent pas. Le rapport des permittivités donne une capacité 80 fois plus grande dans l'eau que dans l'air, sans avoir besoin de la surface ni de l'écartement des armatures. En A.2, la relation q = C × u montre qu'à charge égale la tension est inversement proportionnelle à la capacité : elle est donc plus faible dans l'eau. C'est tout le principe du capteur, puisque le microcontrôleur lit une tension.
Partie B : la charge du condensateur
La question B.1 applique la loi des mailles : E = uR + uC. Les signes dépendent du sens des flèches de tension, qu'il faut lire sur la figure. En B.2, l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps, avec les unités : ampère, coulomb, seconde. La question B.3 est un « montrer que » : il faut écrire la loi d'Ohm, la relation q = Cair × uC, la dérivation, puis diviser par le produit R × Cair. Sauter une étape fait perdre les points de démarche.
En B.4.1, on vérifie que la fonction proposée est solution en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation. Le piège est d'oublier le facteur 1/τ lors de la dérivation de l'exponentielle. L'égalité doit être vraie à chaque instant, ce qui impose τ = R × Cair. En B.4.2, ce produit est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes. La question B.5 se traite en faisant tendre le temps vers l'infini : la tension tend vers E, donc la charge finale vaut Cair × E.
Partie C : l'étalonnage et le script
En C.1, il suffit d'écrire la valeur mesurée dans l'eau, 217, sans oublier le point-virgule ni confondre avec 595, la valeur dans l'air. La question C.2 relie la physique au code : la terre humide a une permittivité intermédiaire, donc une capacité intermédiaire, et la valeur lue se situe entre 217 et 595. La valeur la plus grande correspond au milieu le plus sec.
En C.3, on propose une relation linéaire qui donne 0 % pour la valeur sèche et 100 % pour la valeur dans l'eau. Une bonne habitude consiste à tester l'expression aux deux bornes et sur une valeur intermédiaire. En C.4, la traduction en code cache un piège informatique : la division de deux entiers est tronquée, d'où l'intérêt d'écrire 100.0 pour forcer un calcul décimal.
Conseils pour réussir cet exercice
Dans les démonstrations, écrivez chaque relation utilisée avant de l'appliquer. Pour comparer deux situations, formez un rapport afin que les constantes se simplifient. Enfin, ne négligez pas la partie programmation : elle demande peu de calculs mais rapporte des points faciles si l'on vérifie chaque expression avec les valeurs d'étalonnage.