Un système de détection de passager : le circuit RC au service d'un capteur
Troisième exercice du sujet 2 de Métropole de mars 2021, « Un système de détection de passager » compte pour 5 points et se traite en 55 minutes environ. Il part d'un condensateur « artisanal », deux feuilles d'aluminium séparées par du papier, dont la capacité change quand on appuie dessus. L'exercice mobilise tout le chapitre sur le circuit RC : capacité, équation différentielle de la décharge, temps caractéristique et exploitation de mesures expérimentales.
Partie 1 : un capteur capacitif
Le capteur est un condensateur dont la capacité dépend de la pression : c'est ce qui justifie l'adjectif « capacitif ». Pour les charges, l'armature A porte Q_A = C × U_AB et l'armature B la charge opposée : donner la même charge aux deux feuilles est une erreur fréquente. La question 1.3 est ouverte : avec C = εS/e, un objet posé écrase le papier, l'épaisseur e diminue et la capacité augmente. On attend surtout une hypothèse clairement énoncée et un raisonnement cohérent avec la formule.
Partie 2 : la décharge du condensateur
La démarche se fait en trois temps : loi des mailles, loi d'Ohm avec la relation i = C du_C/dt, puis substitution et division par RC. Le piège est de garder la tension du générateur dans la loi des mailles alors qu'il est hors circuit en position 2. On obtient τ = RC. La vérification de la solution u_C(t) = A e^(−t/τ) demande une dérivation soignée : oublier le facteur −1/τ empêche la somme de s'annuler. La condition initiale donne A = E. Enfin, à t = 5τ, la tension ne vaut plus que e⁻⁵, soit environ 0,67 % de sa valeur initiale, sous le seuil de 1 % : le condensateur est considéré comme déchargé.
Partie 3 : exploiter les mesures
Sans aucun calcul, la courbe qui reste au-dessus de l'autre correspond à la décharge la plus lente, donc au plus grand temps caractéristique. À résistance égale, c'est la plus grande capacité : la série ▲ correspond au dispositif avec pression. Pour la question 3.2, on lit τ à 37 % de la valeur initiale, soit 1,85 V : 110 ms sans pression et 140 ms avec pression. On en déduit une capacité de 1,1 × 10⁻⁸ F, une variation de capacité de 3,0 × 10⁻⁹ F, puis une diminution d'épaisseur d'environ 2,7 × 10⁻⁵ m, soit 27 µm. Les conversions sont le point sensible : les millisecondes et les mégaohms doivent être convertis en unités du système international avant le calcul.
Pièges et conseils
La lecture de τ à 37 % est plus précise que le tracé d'une tangente à l'origine sur un nuage de points. Deux chiffres significatifs suffisent, comme pour R et e. Notez aussi que la relation donnée porte sur les valeurs absolues : la capacité augmente quand l'épaisseur diminue. Cet exercice est un bon entraînement pour revoir les démonstrations du circuit RC, qui reviennent souvent au bac. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les calculs posés et les lectures graphiques commentées.