Supercondensateurs : le circuit RC appliqué aux transports

L'exercice 3 du sujet Amérique du Nord 2022 (jour 1) est l'un des exercices de 5 points au choix, prévu pour environ 53 minutes. La partie A étudie au laboratoire la décharge d'un supercondensateur dans un conducteur ohmique de 100 mΩ. La partie B passe à l'échelle réelle : un condensateur « totem » installé à un arrêt transfère son énergie à un bus électrique. L'exercice est très classique dans sa structure, mais les grandeurs en jeu, des milliers de farads et des milliers d'ampères, le rendent concret.

Les passages clés, question par question

A.1 et A.2 : établir l'équation différentielle

Le premier point délicat est le signe : sur le schéma, le courant i sort de l'armature qui porte la charge q, donc i = −dq/dt, puis i = −C·du_C/dt. Il faut le justifier avec le schéma, pas l'écrire par habitude. Ensuite, la méthode est toujours la même : loi des mailles (u_C = u_R), loi d'Ohm, puis remplacement de i, pour obtenir RC·du_C/dt + u_C = 0.

A.3 : déterminer A et B

En reportant la forme proposée dans l'équation, on obtient A = 0. La condition initiale u_C(0) = E donne B = E = 2,7 V. Un raisonnement physique est également accepté pour A : au bout d'un temps très long, le condensateur est déchargé.

A.4 à A.6 : temps caractéristique, capacité et incertitude

À t = τ, la tension vaut 37 % de sa valeur initiale, soit 1,0 V. La construction graphique donne τ ≈ 3,0 × 10² s. On en déduit C = τ/R = 3,0 × 10³ F, à condition de convertir 100 mΩ en 0,100 Ω. Cette valeur, au moins un million de fois plus grande que celle des condensateurs du laboratoire, justifie le nom de supercondensateur. Le calcul d'incertitude-type donne u(C) = 3 × 10² F après arrondi, et le résultat s'écrit C = (3,0 ± 0,3) × 10³ F, compatible avec la valeur du constructeur.

B.1 : l'intensité maximale

L'intensité est proportionnelle à l'opposé de la dérivée de u_C : elle est maximale à t = 0, là où la courbe descend le plus vite. La tangente à l'origine passe par 760 V et coupe l'axe des temps à 2,0 s, d'où une pente de −3,8 × 10² V·s^-1 et I_max = 7,6 × 10³ A. Ce résultat confirme les plusieurs milliers d'ampères annoncés par l'énoncé.

B.2 : le délai entre deux bus

Si le bus vide entièrement le totem, il faut le recharger en lui fournissant ½·C·E², soit environ 5,8 × 10⁶ J. À la puissance de 9,0 kW, cela demande environ 6,4 × 10² s, soit environ 11 minutes entre deux passages.

Les pièges à éviter

Lire τ à 63 % de E (valeur réservée à la charge), oublier une conversion d'unité (milliohms ou kilowatts, chaque fois un facteur mille), réutiliser la résistance de la partie A dans la partie B sans justification, ou écrire C = 3000 ± 257 F : le dernier chiffre de la valeur doit avoir le même rang que celui de l'incertitude.

Conseils pour réussir

Faites apparaître clairement les constructions graphiques sur le document réponse : elles sont évaluées. Annoncez vos hypothèses, comme la décharge complète du totem en B.2, et commentez vos résultats quand la consigne le demande, en les comparant aux informations de l'énoncé.