Défibrillateur cardiaque implantable : un circuit RC au service du cœur

L'exercice 3 du sujet Amérique du Sud 2022 (jour 1) est l'un des exercices de 5 points, prévu pour environ 53 minutes. Un défibrillateur implantable charge un condensateur sous 800 V, puis le décharge dans le cœur, modélisé par un conducteur ohmique. L'exercice suit ces deux phases et aboutit à l'estimation de la durée du choc électrique. C'est un sujet très classique sur les circuits RC, idéal pour vérifier ses automatismes.

Les passages clés, question par question

Q1 : identifier la courbe de charge

Deux critères suffisent. Le condensateur est déchargé à t = 0, ce qui écarte les courbes qui partent de ±800 V. La flèche de u_C a le même sens que celle de la tension de 800 V : la tension tend vers +800 V. Seul le graphique n°3 convient. Prenez l'habitude de rédiger les deux arguments, valeur initiale puis valeur finale avec son signe.

Q2 : l'équation différentielle de la décharge

Pendant la seconde phase, le condensateur et le conducteur ohmique r forment une seule maille. La loi des mailles, la loi d'Ohm et la relation i = C·du_C/dt conduisent à du_C/dt + u_C/(rC) = 0. Le piège est le signe : avec l'orientation du schéma, il faut regarder le sens des flèches avant d'écrire la loi d'Ohm, sinon on obtient une exponentielle qui diverge. Il n'y a pas de second membre, car le générateur est isolé.

Q3 et Q4 : vérifier la solution, calculer τ et A

« Vérifier » ne demande pas de résoudre : on dérive la fonction proposée, on reporte dans l'équation et on constate que l'égalité est vraie si τ = rC. Avec r = 10 Ω et C = 50 μF, on obtient τ = 5,0 × 10^-4 s, soit 0,50 ms. La conversion des microfarads en farads est indispensable. La constante A se trouve en écrivant la tension à l'instant t₁ : A = 800 V, car la tension aux bornes d'un condensateur ne subit pas de saut.

Q5 : la durée du choc

On considère la décharge terminée au bout de 5τ, soit 2,5 ms. À cette date, il reste environ 5 V, moins de 1 % de la tension initiale. Le commentaire attendu est simple : quelques millisecondes, ce qui correspond au choc « très bref » annoncé par l'énoncé. Le critère 5τ est une convention, seul l'ordre de grandeur compte.

Q6 : l'allure sur un cycle complet

La courbe croît de 0 à 800 V pendant la charge, puis décroît exponentiellement vers 0 à partir de t₁. Elle est continue en t₁. Évitez de dessiner un saut de tension ou une décharge en ligne droite : les deux branches sont des exponentielles.

Pièges et conseils

Les erreurs les plus coûteuses portent sur les signes et les unités. Fléchez toutes les tensions sur le schéma avant d'écrire la loi des mailles, convertissez les capacités en farads et donnez τ avec le bon nombre de chiffres significatifs. Retenez enfin la méthode de vérification d'une solution : elle sert dans de nombreux sujets.