Corrigé interactif · 6 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Exprimer l'intensité i(t) du courant en fonction de la tension uC aux bornes du condensateur et de sa capacité C.
L'intensité est le débit de charge sur l'armature du condensateur : i=dtdq.
Or la charge portée par l'armature est q=CuC, avec C constante, donc :
i(t)=CdtduC
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Q2Montrer que la tension uC vérifie dtduC+τuC=τE et exprimer τ en fonction de R et de C.
Données utiles i=CdtduC (Q1)
Indice Toujours le même enchaînement pour un circuit RC : loi des mailles, loi d'Ohm, relation i=CdtduC, puis division pour que le coefficient de la dérivée soit égal à 1.
Interrupteur fermé, la loi des mailles donne : E=uR+uC.
Loi d'Ohm pour le conducteur ohmique : uR=Ri=RCdtduC (Q1).
On a donc RCdtduC+uC=E, puis, en divisant chaque terme par RC :
dtduC+RCuC=RCE
C'est l'équation attendue, avec τ=RC.
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Q3Vérifier que l'unité de τ est la seconde.
Loi d'Ohm : R=iuR, donc R s'exprime en V⋅A−1.
Relation de Q1 : C=duC/dti, donc C s'exprime en V⋅s−1A=A⋅s⋅V−1.
Unité du produit RC : V⋅A−1×A⋅s⋅V−1=s.
τ=RC s'exprime bien en seconde.
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Q4Vérifier que uC=E(1−exp(−τt)) est solution de l'équation différentielle.
On écrit uC=E−Ee−t/τ et on dérive :
dtduC=−E×(−τ1)e−t/τ=τEe−t/τ
On reporte dans le membre de gauche de l'équation :
dtduC+τuC=τEe−t/τ+τE−τEe−t/τ=τE
On retrouve le second membre τE à tout instant : la fonction proposée est bien solution.
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Q5Déterminer, en explicitant la démarche, la valeur de la constante de temps τ à partir de la courbe de l'annexe.
Données utiles E=5,0 V ; courbe uC(t) de l'annexe
Indice Autre démarche acceptée : tracer la tangente à la courbe à l'origine ; elle coupe l'asymptote uC=E à l'instant t=τ. Elle est moins précise, car la tangente est délicate à tracer.
À l'instant t=τ, la solution de Q4 donne uC(τ)=E(1−e−1)=0,63E.
uC(τ)=0,63×5,0=3,2 V
Sur l'annexe, on trace l'horizontale d'ordonnée 3,2 V jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse du point d'intersection.
τ=4,0 s
0,63E≈3,2 Vτ=4,0 suC (V)t (s) Annexe complétée : lecture de τ à 63 % de la tension finaleTu avais trouvé ?
Q6Indiquer, en justifiant, si le circuit réalisé modélise correctement le circuit de la puce d'une carte bancaire lors d'un paiement sans contact.
Données utiles τ=4,0 s (Q5) ; temps de réponse tr=τ ; temps de réponse attendu : de 1 à 2 s
Le temps de réponse du circuit réalisé est tr=τ=4,0 s.
Or le temps de réponse d'une puce doit être compris entre 1 s et 2 s : ici il est au moins deux fois trop long.
tr=4,0 s>2 s : le circuit réalisé ne modélise pas correctement la puce d'une carte bancaire.
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Paiement sans contact : un circuit RC pour modéliser la puce
Le troisième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Asie (jour 2) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il propose de modéliser la puce d'une carte bancaire lors d'un paiement sans contact par un circuit RC série, alimenté par une tension E. L'élève établit l'équation différentielle de la charge du condensateur, vérifie sa solution, mesure la constante de temps sur une courbe, puis juge si le modèle convient. C'est un exercice très proche du cours, idéal pour sécuriser des points.
Intensité et équation différentielle (questions 1 et 2)
La question 1 demande l'intensité en fonction de la tension aux bornes du condensateur. On part de i = dq/dt et de q = C uC, d'où i = C duC/dt. Écrire i = C uC est une erreur fréquente : l'intensité dépend de la variation de la tension, pas de sa valeur. Une fois le condensateur chargé, uC = E alors que le courant est nul.
La question 2 suit l'enchaînement habituel : loi des mailles E = uR + uC, loi d'Ohm uR = R i, puis la relation de la question 1. On divise ensuite par RC pour que le coefficient de la dérivée soit égal à 1, ce qui fait apparaître τ = RC.
Unité de τ et solution (questions 3 et 4)
Pour montrer que τ s'exprime en seconde, on peut combiner les unités de R, en V·A-1, et de C, en A·s·V-1. Une voie plus rapide consiste à remarquer que duC/dt et uC/τ s'additionnent dans l'équation, donc ont la même unité. La question 4 demande de vérifier que uC = E(1 - exp(-t/τ)) est solution. Il suffit de dériver, de reporter dans le membre de gauche et de retrouver E/τ. Le piège est d'oublier le facteur -1/τ en dérivant l'exponentielle. On peut aussi noter que cette solution respecte la condition initiale uC(0) = 0.
Lecture graphique et validation du modèle (questions 5 et 6)
La question 5 attend une démarche explicite. À t = τ, la tension vaut 63 % de sa valeur finale, soit 0,63 × 5,0 ≈ 3,2 V. On trace l'horizontale correspondante jusqu'à la courbe de l'annexe et on lit τ = 4,0 s. Le calcul RC avec R = 100 kΩ et C = 40 µF confirme cette valeur. La méthode de la tangente à l'origine est également acceptée, mais elle est moins précise.
La question 6 compare ce résultat au cahier des charges : le temps de réponse d'une puce doit être compris entre 1 s et 2 s. Le temps de réponse du circuit vaut τ = 4,0 s, au moins deux fois trop long : le montage ne modélise pas correctement la puce. Comme τ = RC, il suffirait de diviser R ou C par un nombre compris entre 2 et 4 pour entrer dans l'intervalle attendu.
Conseils
Apprenez par cœur l'enchaînement loi des mailles, loi d'Ohm, relation intensité-tension : il revient dans presque tous les sujets sur le circuit RC. Lors d'une lecture graphique, laissez les traits de construction visibles sur l'annexe et rendez-la avec la copie. Pour une question de validation, comparez toujours une valeur à un critère chiffré, puis concluez clairement.