Oui
Radioactivité et nucléaire
Sujet Bac Corrigé - Césium 137 - Antilles 2026 Jour 1 - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2026
Terminale spécialité
☢️ Plus de quatre-vingts ans après l'essai Trinity, la trinitite est-elle encore radioactive ? L'exercice 2 du bac 2026 de physique-chimie aux Antilles (jour 1), sur 5 points, répond avec le césium 137.
- Le noyau : composition et équation de désintégration β-.
- La loi de décroissance : équation différentielle, solution exponentielle, demi-vie et constante radioactive lues sur une courbe.
- Python et activité : une ligne de programme à compléter, puis une question ouverte sur la masse de trinitite à déclarer en 2026.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
Fiche de cours
Décroissance radioactive — Terminale spécialité physique-chimie
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Q1Donner la composition d'un noyau de césium 137.
Données utiles X55137X2552137Cs
Le numéro atomique est Z=55 : le noyau contient 55 protons.
Le nombre de masse est A=137 : le noyau contient 137 nucléons, donc N=A−Z=137−55=82 neutrons.
Le noyau de césium 137 est composé de 55 protons et de 82 neutrons.
Tu avais trouvé ?
Q2Écrire l'équation de désintégration de type β du césium 137.
Données utiles X55137X2552137Cs ; noyau fils : X56137X2562137Ba
On note XZAX2Z2AX la particule émise avec le noyau de baryum. Lois de conservation :
- nombre de masse : 137=137+A, donc A=0 ;
- nombre de charge : 55=56+Z, donc Z=−1.
La particule émise est un électron X−10X2−120e : c'est une désintégration β−.
X55137X2552137CsX56137X2562137Ba+X−10X2−120e Tu avais trouvé ?
Q3Établir que l'évolution du nombre N de noyaux de césium 137 est régie par l'équation différentielle dtdN=−λN.
Données utiles A(t)=−dtdN ; A(t)=λN(t)
D'après les données, l'activité s'écrit de deux façons :
A(t)=−dtdNetA(t)=λN(t)
En égalant ces deux expressions : −dtdN=λN, soit
dtdN=−λN
Tu avais trouvé ?
Q4Vérifier que N(t)=N0e−λt est solution de l'équation différentielle précédente.
Indice Pour « vérifier qu'une fonction est solution », on ne résout pas l'équation : on dérive la fonction, on remplace dans l'équation et on constate l'égalité. La dérivée de eat est aeat.
On dérive la fonction proposée par rapport au temps :
dtdN=N0×(−λ)e−λt=−λ×(N0e−λt)=−λN(t)
On retrouve bien l'équation différentielle. De plus, à t=0 : N(0)=N0e0=N0, ce qui respecte la condition initiale.
dtdN=−λN : N(t)=N0e−λt est bien solution.
Tu avais trouvé ?
Q5Montrer que le temps de demi-vie est lié à la constante radioactive par la relation t1/2=λln(2).
Le temps de demi-vie t1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée : N(t1/2)=2N0.
Avec N(t)=N0e−λt :
N0e−λt1/2=2N0donce−λt1/2=21
En prenant le logarithme népérien : −λt1/2=ln(21)=−ln(2), d'où
t1/2=λln(2)
Tu avais trouvé ?
Q6Exploiter la courbe de l'annexe 2 pour estimer la valeur de la constante radioactive du césium 137, en an−1, en faisant apparaître la construction graphique.
Données utiles t1/2=λln(2) (Q5)
Indice Vérification possible avec un second point : à t=2t1/2=60 ans, la courbe doit passer par 25 %, ce qui est bien le cas.
Au bout d'une demi-vie, il reste 50 % des noyaux initiaux. Sur l'annexe, on trace l'horizontale d'ordonnée 50 % jusqu'à la courbe, puis la verticale jusqu'à l'axe des abscisses : on lit t1/2≈30 ans.
D'après Q5 : λ=t1/2ln(2)
λ=30ln(2)=2,3×10−2 an−1
t1/2≈30 ans, donc λ≈2,3×10−2 an−1
50 %t1/2≈30 ans100×N0Nt (ans) Annexe 2 complétée : lecture de la demi-vie à 50 %Tu avais trouvé ?
Q7Recopier la ligne 9 du programme et la compléter.
Données utiles « pourcentage » désigne 100×N0N ; t en années (ligne 6) ; λ≈0,023 an−1 (Q6)
D'après Q4, N0N=e−λt, donc 100×N0N=100×e−λt, avec t en années et λ en an−1.
pourcentage = 100*np.exp(-0.023*t)
Tu avais trouvé ?
Q8Montrer que l'activité d'un échantillon de trinitite est donnée par A(t)=A0e−λt, où A0=λN0.
Données utiles A(t)=λN(t) ; N(t)=N0e−λt (Q4)
L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux : A(t)=λN(t).
Or N(t)=N0e−λt, donc
A(t)=λN0e−λt
À la date t=0 : A0=A(0)=λN0.
A(t)=A0e−λt avec A0=λN0
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Q9À partir de l'étude de 2010, déterminer la masse de trinitite à partir de laquelle une demande de détention doit être effectuée en 2026. Commenter cette valeur.
Données utiles Aeˊtude=48,3 Bq pour un gramme en 2010 ; λ=0,0231 an−1 ; seuil : 10 Bq ; A(t)=A0e−λt (Q8)
Indice Question ouverte : annoncer les étapes (activité en 2026, puis masse limite, puis commentaire), signaler toute hypothèse d'interprétation, et conclure par une phrase. Une démarche claire rapporte des points même si le résultat final est discutable.
Activité d'un gramme de trinitite en 2026. On prend 2010 comme origine des dates ; la durée écoulée est Δt=2026−2010=16 ans.
A2026=Aeˊtudee−λΔt=48,3×e−0,0231×16=33,4 Bq
L'activité massique de la trinitite en 2026 est donc a=33,4 Bq⋅g−1.
Remarque sur l'énoncé. Cette activité massique ne dépend pas de la masse de l'échantillon, et elle dépasse déjà 10 Bq⋅g−1. Pour qu'une masse limite existe, on interprète le seuil comme une activité de 10 Bq pour l'échantillon détenu.
Masse limite. L'activité d'un échantillon de masse m est A=a×m. Le seuil est atteint pour :
mlim=aAseuil=33,410=0,30 g
Commentaire. Cette masse est très faible : un fragment de trinitite de moins d'un tiers de gramme suffit pour atteindre le seuil. En pratique, presque tout morceau de trinitite nécessite donc une demande de détention en 2026, plus de 80 ans après l'essai.
A2026=33,4 Bq pour un gramme, donc mlim≈0,30 g : masse très faible.
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Césium 137 et trinitite : un exercice de 5 points sur la radioactivité
Le deuxième exercice du bac 2026 de physique-chimie aux Antilles (jour 1) est le plus court de l'épreuve : 5 points et 9 questions. Il part du césium 137 produit lors de l'essai nucléaire Trinity et contenu dans la trinitite, ce verre formé dans le sable du désert. Le fil conducteur est la loi de décroissance radioactive, de l'équation différentielle jusqu'à une question ouverte sur la détention d'un échantillon en 2026.
Le noyau et sa désintégration (Q1 et Q2)
Le noyau de césium 137 contient 55 protons et 137 − 55 = 82 neutrons. L'erreur classique consiste à annoncer 137 neutrons, alors que 137 est le nombre de nucléons ; il ne faut pas non plus parler d'électrons, qui n'appartiennent pas au noyau. L'équation de désintégration s'écrit avec les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge : le noyau fils étant le baryum 137 (Z = 56), la particule émise est un électron, et la désintégration est de type β-.
De l'équation différentielle à la demi-vie (Q3 à Q6)
En égalant les deux expressions de l'activité, A = −dN/dt et A = λN, on obtient dN/dt = −λN. Pour vérifier que N(t) = N0e−λt est solution, on ne résout rien : on dérive, on remplace, on constate l'égalité, et l'on contrôle la condition initiale N(0) = N0. La relation t1/2 = ln(2)/λ se démontre à partir de la définition de la demi-vie, N(t1/2) = N0/2, point de départ à écrire explicitement. Sur la courbe de l'annexe, l'horizontale à 50 % donne t1/2 ≈ 30 ans, d'où λ ≈ 2,3 × 10-2 an-1. Une vérification rapide : à 60 ans, la courbe passe par 25 %.
Python et activité (Q7 et Q8)
La ligne de programme attendue est pourcentage = 100*np.exp(-0.023*t). Trois fautes reviennent souvent : oublier le signe moins, écrire une virgule décimale à la place du point, omettre le symbole de multiplication. L'expression de l'activité découle ensuite directement de A = λN : A(t) = A0e−λt avec A0 = λN0. L'activité décroît donc avec la même demi-vie que le nombre de noyaux.
La question ouverte (Q9)
La mesure de référence date de 2010 : 48,3 Bq pour un gramme. La durée à prendre est donc 16 ans, et non le temps écoulé depuis 1945. On obtient 33,4 Bq pour un gramme en 2026. Le corrigé signale une ambiguïté de l'énoncé : rédigé comme une activité massique de 10 Bq par gramme, le seuil serait déjà dépassé pour toute masse. En l'interprétant comme une activité de 10 Bq pour l'échantillon, on trouve une masse limite d'environ 0,30 g, très faible : presque tout fragment de trinitite impose une demande de détention.
Conseils
Gardez λ en an-1 et les durées en années, sans passer par les secondes. Dans une question ouverte, annoncez les étapes, écrivez l'hypothèse d'interprétation choisie et terminez par une phrase de conclusion : une démarche claire est valorisée même si l'énoncé prête à discussion.