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Satellites et lois de Kepler
Lunette et instruments d'optique
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Astéroïde 2024 PT5 - Antilles 2026 Jour 1 - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2026
Terminale spécialité
🔭 Une deuxième lune temporaire pour la Terre, invisible à l'œil nu ? L'exercice 3 du bac 2026 de physique-chimie aux Antilles (jour 1), sur 6 points, suit l'astéroïde 2024 PT5.
- Mécanique céleste : deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet, vitesse de la Lune, troisième loi de Kepler, distance Terre-Lune.
- Sphère de Hill : pourquoi l'astéroïde n'a pas été capturé par la Terre.
- Optique : pouvoir séparateur de l'œil, marche des rayons dans une lunette afocale, grossissement de la Grande Lunette de Meudon.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
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Q1Donner l'expression vectorielle de la force
FT/L exercée par la Terre sur la Lune.
La force est attractive, dirigée de L vers le centre de la Terre, donc selon +un :
Tu avais trouvé ?
Q2En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que
vL=dT/LGMT.
Indice Toujours les mêmes étapes : système, référentiel, bilan des forces ; deuxième loi de Newton ; accélération dans le repère de Frenet ; identification selon
un.
Système {Lune}, de masse ML constante ; référentiel géocentrique supposé galiléen ; seule force : FT/L.
Deuxième loi de Newton : MLa=FT/L, donc a=dT/L2GMTun.
Le mouvement est circulaire uniforme, de rayon dT/L : dans le repère de Frenet, a=dT/LvL2un.
Par identification selon un : dT/LvL2=dT/L2GMT, soit vL2=dT/LGMT.
Tu avais trouvé ?
Q3Exprimer la période de révolution T de la Lune en fonction de dT/L, puis retrouver la troisième loi de Kepler dT/L3T2=GMT4π2.
En une période, la Lune parcourt le périmètre 2πdT/L à la vitesse constante vL :
T=vL2πdT/L=2πdT/LGMTdT/L=2πGMTdT/L3
En élevant au carré : T2=GMT4π2dT/L3.
T=2πGMTdT/L3 et dT/L3T2=GMT4π2 : on retrouve la troisième loi de Kepler. Tu avais trouvé ?
Q4Calculer la valeur de la distance Terre-Lune dT/L.
Données utiles T=27,3 jours ; G=6,67×10−11 m3⋅kg−1⋅s−2 ; MT=5,972×1024 kg
D'après la troisième loi de Kepler (Q3) : dT/L=34π2GMTT2
avec T=27,3×24×3600=2,36×106 s (valeur non arrondie gardée en mémoire pour le calcul).
dT/L=34π26,67×10−11×5,972×1024×(2,36×106)2
dT/L=3,83×108 m=3,83×105 km
Tu avais trouvé ?
Q5Calculer la valeur du rayon de la sphère de Hill de la Terre.
Données utiles dT/S=1,496×108 km ; MT=5,972×1024 kg ; MS=1,989×1030 kg
rHill=dT/S⋅33MSMT=1,496×108×33×1,989×10305,972×1024
rHill=1,496×106 km
Tu avais trouvé ?
Q6Indiquer si la Lune se situe dans la sphère de Hill de la Terre.
Données utiles dT/L=3,83×105 km (Q4) ; rHill=1,496×106 km (Q5)
dT/L=3,83×105 km<rHill=1,496×106 km : la Lune est environ quatre fois plus proche de la Terre que la limite de la sphère de Hill.
dT/L<rHill : la Lune se situe dans la sphère de Hill de la Terre.
Tu avais trouvé ?
Q7À l'aide de la figure 2 et des réponses précédentes, donner un argument expliquant que l'astéroïde est venu orbiter autour de la Terre entre novembre et janvier « sans jamais être capturé par sa gravité ».
Données utiles rHill=1,496×106 km (Q5) ; 1 au=1,496×108 km
Indice Pour comparer, mettre les deux grandeurs dans la même unité : ici, convertir rHill en au et tracer l'horizontale 0,010 au sur la figure 2.
Rayon de la sphère de Hill en unité astronomique : rHill=1,496×1081,496×106=0,010 au.
Sur la figure 2, entre novembre 2024 et janvier 2025, la distance Terre-astéroïde diminue d'environ 0,027 au à un minimum d'environ 0,012 au (début janvier), puis augmente à nouveau : elle reste toujours supérieure à 0,010 au.
Sur cette période, l'astéroïde reste hors de la sphère de Hill (0,012 au>0,010 au) : l'attraction du Soleil l'emporte sur celle de la Terre, il s'approche puis s'éloigne sans être capturé.
distance (×10−2 au)semaines depuis le 1/7/2024 Allure de la figure 2 (relevé approché) ; en tirets, le rayon de la sphère de Hill, 0,010 auTu avais trouvé ?
Q8Montrer que l'angle θ sous lequel on voit deux points diamétralement opposés de l'astéroïde, situé à la distance dA/T, vaut 1,9×10−8 rad.
Données utiles d=11 m ; dA/T=5,67×105 km ; tanθ≈θ
Dans le triangle rectangle de la figure 3, avec AB=d et la distance d'observation dA/T : tanθ=dA/Td.
L'angle est très petit : θ≈tanθ, avec dA/T=5,67×105 km=5,67×108 m.
θ=dA/Td=5,67×10811
θ=1,9×10−8 rad : c'est la valeur attendue.
Tu avais trouvé ?
Q9En ne tenant compte que du pouvoir séparateur de l'œil, commenter la phrase : « Une deuxième lune temporaire qu'on ne pourra malheureusement pas distinguer à l'œil nu ».
Données utiles θ=1,9×10−8 rad (Q8) ; ε=3,0×10−4 rad
L'objet est vu distinctement si θ>ε. Or θ=1,9×10−8 rad est très inférieur à ε=3,0×10−4 rad : θε≈1,6×104.
θ<ε : même au plus près de la Terre, l'œil ne peut pas séparer deux points opposés de l'astéroïde. La phrase de l'article est justifiée.
Tu avais trouvé ?
Q10Sur l'annexe 3, tracer la marche des deux rayons issus du point B, situé à l'infini, au travers de la lunette. Faire apparaître l'image intermédiaire A1B1.
- Le rayon qui passe par le centre optique O1 n'est pas dévié : il coupe le plan focal image de L1 en B1.
- L'objet est à l'infini : son image A1B1 se forme dans le plan focal image de L1, avec A1 en F1′. Le second rayon, parallèle au premier, sort donc de L1 en passant aussi par B1.
- F1′ et F2 sont confondus : B1 est dans le plan focal objet de L2. Les deux rayons sortent de L2 parallèles entre eux, parallèlement à la droite (B1O2) tracée en pointillés.
Image intermédiaire A1B1 dans le plan focal commun, renversée ; rayons émergents parallèles à (B1O2) : l'image finale est à l'infini.
Annexe 3 complétée : en orange, ce que l'on trace (schéma non à l'échelle)Tu avais trouvé ?
Q11Montrer que le grossissement de la lunette astronomique s'exprime par G=f2′f1′.
Indice Repérer θ et θ′ sur le schéma : θ au sommet O1, θ′ au sommet O2. Les deux triangles rectangles ont le même côté A1B1, qui se simplifie.
Dans le triangle O1A1B1, rectangle en A1 : tanθ=O1F1′A1B1=f1′A1B1.
Dans le triangle O2A1B1, rectangle en A1 : tanθ′=O2F2A1B1=f2′A1B1.
Les angles sont très petits : θ≈f1′A1B1 et θ′≈f2′A1B1, donc
G=θθ′=f2′A1B1×A1B1f1′
G=f2′f1′
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Q12Déterminer si la « Grande Lunette » de Meudon permet de distinguer deux points diamétralement opposés de l'astéroïde 2024 PT5.
Données utiles f1′=16 m ; f2′=4 cm ; θ=1,9×10−8 rad ; ε=3,0×10−4 rad
Grossissement, avec f2′=4 cm=0,04 m : G=f2′f1′=0,0416=400.
Angle sous lequel l'astéroïde est vu à travers la lunette :
θ′=G×θ=400×1,9×10−8=7,6×10−6 rad
Critère : on distingue les deux points si θ′>ε. Or 7,6×10−6 rad<3,0×10−4 rad.
θ′=7,6×10−6 rad<ε : la Grande Lunette de Meudon ne permet pas de distinguer deux points opposés de l'astéroïde.
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L'astéroïde 2024 PT5, « mini-lune » de la Terre : un exercice de 6 points
Le troisième exercice du bac 2026 de physique-chimie aux Antilles (jour 1) compte 6 points et se traite en 1 h 03 environ. Il part d'un article sur l'astéroïde 2024 PT5, présenté comme une deuxième lune temporaire. Ses 12 questions relient deux chapitres : la mécanique céleste (deuxième loi de Newton, troisième loi de Kepler, sphère de Hill) et l'optique (pouvoir séparateur de l'œil, lunette afocale, grossissement).
Le mouvement de la Lune (Q1 à Q4)
La force exercée par la Terre sur la Lune s'écrit avec le vecteur unitaire un, orienté vers la Terre, donc sans signe moins : donner seulement la norme ne répond pas à la demande d'une expression vectorielle. La démonstration de la vitesse suit les étapes habituelles : système, référentiel géocentrique supposé galiléen, bilan des forces, deuxième loi de Newton, accélération dans le repère de Frenet, identification selon un. On obtient vL = √(GMT/dT/L), puis, avec T = 2πd/v, la troisième loi de Kepler. Pour calculer la distance Terre-Lune, la période de 27,3 jours doit être convertie en secondes : on trouve dT/L = 3,83 × 105 km, conforme à l'ordre de grandeur connu.
La sphère de Hill (Q5 à Q7)
Le rayon de la sphère de Hill de la Terre se calcule avec une racine cubique, et non carrée : rHill = 1,496 × 106 km. Le rapport des masses étant sans unité, inutile de convertir les kilomètres. La Lune, environ quatre fois plus proche, est bien à l'intérieur. Pour l'astéroïde, il faut convertir ce rayon en unité astronomique, soit 0,010 au, et le comparer à la figure 2 : entre novembre et janvier, la distance minimale est d'environ 0,012 au. L'astéroïde reste hors de la sphère de Hill, où l'attraction du Soleil domine, ce qui explique qu'il n'ait pas été capturé.
Voir l'astéroïde (Q8 à Q12)
Le diamètre apparent vaut θ = 11 m / 5,67 × 108 m ≈ 1,9 × 10-8 rad ; diviser des mètres par des kilomètres donnerait un résultat mille fois trop grand. Comparé au pouvoir séparateur de l'œil, 3,0 × 10-4 rad, cet angle est environ 16 000 fois plus petit : l'astéroïde est indiscernable à l'œil nu. Le tracé sur l'annexe 3 demande de faire apparaître l'image intermédiaire A1B1 dans le plan focal commun et de faire ressortir les rayons parallèles à la droite (B1O2), et non à l'axe optique. Le grossissement G = f'1/f'2 se démontre avec deux triangles rectangles qui partagent le côté A1B1. Pour la Grande Lunette de Meudon, G = 16 / 0,04 = 400 après conversion des 4 cm en mètres ; l'angle obtenu, 7,6 × 10-6 rad, reste inférieur au pouvoir séparateur : la lunette ne suffit pas.
Conseils
L'exercice se joue beaucoup sur les unités : jours en secondes, kilomètres en mètres, centimètres en mètres, kilomètres en unités astronomiques. Avant chaque comparaison, mettez les deux grandeurs dans la même unité et écrivez le critère utilisé, par exemple θ' supérieur ou inférieur à ε.