Corrigé interactif · 8 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Calculer la longueur d'onde λ0 correspondant à la fréquence f0 et nommer le domaine du spectre auquel appartient l'onde associée au CMB.
Données utiles c=3,00×108 m⋅s−1 ; f0=217 GHz=217×109 Hz ; micro-ondes : de 1 à 300 mm
Pour une onde électromagnétique dans le vide : λ0=f0c.
λ0=217×1093,00×108=1,38×10−3 m
Cette longueur d'onde est comprise entre 1 mm et 300 mm.
λ0=1,38 mm : l'onde appartient au domaine des micro-ondes.
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Q2Montrer que la puissance PCMB reçue par le bolomètre de la part du CMB au travers du filtre vaut 7,82×10−14 W.
Données utiles PCN=σTCN4S ; σ=5,67×10−8 W⋅m−2⋅K−4 ; TCMB=2,725 K ; SCMB=9,93×10−8 m2 ; filtre : 25,2 %
Sans filtre, la surface sensible recevrait la puissance σTCMB4SCMB. Le filtre n'en laisse passer que 25,2 %, donc :
PCMB=0,252×σTCMB4SCMB
PCMB=0,252×5,67×10−8×2,7254×9,93×10−8
PCMB=7,82×10−14 W, ce qui est bien la valeur annoncée.
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Q3Exprimer la puissance PT reçue par la partie sensible de la part du thermostat en fonction de T, TT et Rcontact. Justifier le signe de cette grandeur.
Données utiles Psyst=−RthTsyst−T0
Le système est la partie sensible, à la température T ; le thermostat est à la température TT et le contact a pour résistance thermique Rcontact. La relation donnée s'écrit alors :
PT=−RcontactT−TT
Le thermostat est plus froid que la partie sensible : T>TT, donc T−TT>0. Comme Rcontact>0, on a PT<0.
PT=−RcontactT−TT<0 : la partie sensible cède de l'énergie au thermostat.
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Q4Exprimer le transfert thermique Qtot échangé par la partie sensible avec l'ensemble des sources extérieures pendant une durée Δt, en fonction de PCMB, T, TT, Δt et Rcontact.
Données utiles PT (Q3), supposée constante pendant Δt
La partie sensible échange de l'énergie avec deux sources : le rayonnement du CMB (puissance PCMB) et le thermostat (puissance PT).
Les puissances étant constantes pendant Δt, l'énergie échangée est le produit de la puissance totale par la durée : Qtot=(PCMB+PT)Δt.
Qtot=(PCMB−RcontactT−TT)Δt
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Q5Énoncer le premier principe de la thermodynamique en précisant le nom et l'unité de chaque grandeur.
Pour un système fermé, macroscopiquement au repos, la variation de son énergie interne entre deux états est égale à la somme du travail et du transfert thermique qu'il reçoit de l'extérieur.
- ΔU : variation de l'énergie interne du système, en joules (J) ;
- W : travail reçu par le système, en joules (J) ;
- Q : transfert thermique reçu par le système, en joules (J).
ΔU=W+Q
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Q6Par une analyse dimensionnelle, montrer que τ=Rcontact⋅Cbolo est homogène à un temps, puis calculer sa valeur.
Données utiles Rcontact=3,75×109 K⋅W−1 ; Cbolo=0,40×10−12 J⋅K−1 ; 1 W=1 J⋅s−1
Indice Pour une analyse dimensionnelle, remplacer chaque grandeur par son unité, simplifier, puis ramener les unités composées (ici le watt) aux unités de base.
Unité du produit Rcontact⋅Cbolo :
K⋅W−1×J⋅K−1=WJ=J⋅s−1J=s
Le produit s'exprime en secondes : τ est bien homogène à un temps.
τ=3,75×109×0,40×10−12=1,5×10−3 s
τ=1,5×10−3 s=1,5 ms
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Q7Sachant que T(t)=TT+T1(1−e−t/τ) est la solution de l'équation différentielle vérifiant T(0)=TT, donner l'expression de T1 et sa valeur.
Données utiles dtdT+RcontactCboloT=CboloPCMB+RcontactCboloTT ; PCMB=7,82×10−14 W (Q2) ; Rcontact=3,75×109 K⋅W−1
Indice Pour identifier une constante dans une solution donnée, exploiter le régime permanent : dérivée nulle dans l'équation, exponentielle nulle dans la solution.
Quand t devient très grand, e−t/τ tend vers 0 : la température tend vers la valeur constante T∞=TT+T1.
En régime permanent, dtdT=0 et l'équation différentielle devient :
RcontactCboloT∞=CboloPCMB+RcontactCboloTT
En multipliant par RcontactCbolo : T∞=RcontactPCMB+TT. Par comparaison avec T∞=TT+T1 :
T1=RcontactPCMB=3,75×109×7,82×10−14
T1=RcontactPCMB=2,93×10−4 K
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Q8Montrer que le bolomètre du satellite Planck peut obtenir une mesure fiable du CMB.
Données utiles mesure fiable au bout de 5τ ; τ=1,5 ms (Q6) ; Δtscan=14 ms
La température de la partie sensible est stabilisée au bout de :
5τ=5×1,5=7,5 ms
Or chaque zone du ciel est balayée pendant Δtscan=14 ms, durée supérieure à 5τ.
5τ=7,5 ms<Δtscan=14 ms : la température a le temps de se stabiliser, la mesure est fiable.
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Les bolomètres de Planck : un exercice de thermodynamique de 5 points
Le troisième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Polynésie (jour 1) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il porte sur les bolomètres embarqués à bord du satellite Planck, chargés de mesurer le fond diffus cosmologique, ou CMB. Le principe est simple : le rayonnement reçu échauffe très légèrement une partie sensible reliée à un thermostat très froid, et cet échauffement renseigne sur la puissance reçue. Les 8 questions suivent ce raisonnement, de la nature de l'onde jusqu'à la fiabilité de la mesure.
Le rayonnement reçu (Q1 et Q2)
La relation λ0 = c/f0 donne 1,38 mm, ce qui place l'onde dans le domaine des micro-ondes. Le piège est la fréquence, donnée en gigahertz : sans conversion en hertz, le résultat est absurde. Le nom anglais du CMB, qui contient le mot « microwave », permet de contrôler la réponse. La puissance reçue à travers le filtre s'obtient avec la loi fournie : il faut appliquer le facteur 0,252 et la puissance 4 sur la température pour retrouver 7,82 × 10−14 W.
Bilan thermique (Q3 à Q5)
La puissance reçue du thermostat s'écrit PT = −(T − TT)/Rcontact. Comme le thermostat est plus froid que la partie sensible, cette puissance est négative : la partie sensible cède de l'énergie. Une grandeur « reçue » est algébrique, et c'est ce que la justification du signe doit montrer.
Le transfert thermique total pendant Δt est la somme des puissances reçues multipliée par la durée. Erreur fréquente : écrire PCMB − PT, ce qui compte deux fois le signe moins. L'énoncé du premier principe, ΔU = W + Q, doit préciser le nom et l'unité de chaque grandeur, toutes en joules. Ici aucun travail n'est reçu, ce qui mène à l'équation différentielle donnée ensuite par le sujet.
Temps caractéristique et mesure (Q6 à Q8)
L'analyse dimensionnelle consiste à remplacer chaque grandeur par son unité : des K·W−1 multipliés par des J·K−1 donnent des J/W, donc des secondes, puisqu'un watt vaut un joule par seconde. On calcule τ = 1,5 ms, avec deux chiffres significatifs seulement.
Pour trouver T1, la méthode efficace est le régime permanent : la dérivée s'annule dans l'équation et l'exponentielle tend vers zéro dans la solution. On obtient T1 = Rcontact × PCMB = 2,93 × 10−4 K, un échauffement minuscule mais proportionnel à la puissance reçue. Enfin, la mesure est fiable au bout de 5τ = 7,5 ms, durée inférieure aux 14 ms pendant lesquelles chaque zone du ciel est balayée. Comparer τ seul aux 14 ms serait une erreur : au bout de τ, l'échauffement n'atteint que 63 % de sa valeur finale.
Conseils
Ce sujet impressionne par son contexte, mais les calculs restent courts. Lisez attentivement les relations fournies, suivez les conventions de signe et convertissez les unités avant tout calcul.