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Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Mercure et lois de Kepler - Polynésie 2022 Jour 2 - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2022
Terminale spécialité
🪐 L'exercice 3 (5 points, environ 53 min) du bac 2022 de physique-chimie en Polynésie, jour 2 : la planète Mercure et la sonde MESSENGER, de l'orbite autour du Soleil à la masse de la planète.
- Les trois lois de Kepler : orbite elliptique, loi des aires, période d'environ 88 jours.
- Deuxième loi de Newton appliquée à la sonde et expression de son accélération.
- Masse de Mercure retrouvée à partir de l'accélération mesurée.
- Orbite de la sonde : demi-grand axe et preuve qu'elle n'est pas circulaire.
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Mercure et MESSENGER : un exercice de mécanique céleste
L'exercice 3 du sujet de Polynésie 2022 (jour 2) compte 5 points et se traite en 53 minutes environ. Il se divise en deux temps : d'abord le mouvement de Mercure autour du Soleil, étudié avec les trois lois de Kepler, puis celui de la sonde MESSENGER autour de Mercure, étudié avec la deuxième loi de Newton. C'est un exercice très proche du cours, où la rigueur des énoncés et des conversions d'unités fait la différence.
Questions 1 à 4 : Mercure et les lois de Kepler
Loi des orbites et demi-grand axe
La première loi de Kepler affirme que l'orbite est une ellipse dont le centre du Soleil occupe un foyer. Le schéma doit montrer le Soleil décalé du centre, sur le grand axe. La distance Soleil-Mercure variant entre 0,31 ua et 0,47 ua, le grand axe mesure 0,78 ua et le demi-grand axe 0,39 ua. Placer le Soleil au centre de l'ellipse est l'erreur à éviter.
Loi des aires
Le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Loin du Soleil, ce segment est long, si bien qu'un arc court suffit à balayer la même aire : la vitesse est minimale à l'aphélie. La vitesse de 39 km·s-1, la plus faible, est donc atteinte à l'aphélie, à 0,47 ua ; la vitesse maximale de 59 km·s-1 correspond au périhélie.
Troisième loi et période
Avec T2/a3 = k et k = 2,9 × 10-19 s2·m-3, il faut convertir a en mètres avant de calculer. On obtient T = 7,6 × 106 s, soit environ 88 jours : un peu moins de trois mois, comme annoncé.
Questions 5 à 8 : la sonde MESSENGER
Schéma et deuxième loi de Newton
Sur la figure, r = RM + h ; la force d'attraction et l'accélération pointent de la sonde vers le centre de Mercure, tandis que la vitesse est tangente à la trajectoire. Dans le référentiel mercurocentrique supposé galiléen, la seule force est l'attraction de Mercure, et la deuxième loi de Newton donne aS = GM/(RM + h)2. La masse de la sonde disparaît du résultat.
Masse de Mercure et orbite de la sonde
Avec aS = 3,15 m·s-2 et RM + h = 2 640 km, convertis en mètres, on retrouve M = 3,29 × 1023 kg. La troisième loi de Kepler appliquée à la sonde, avec k = 4π2/(GM) et une période de 8,00 h convertie en secondes, donne un demi-grand axe de 7,73 × 106 m. Cette valeur est presque trois fois supérieure à la distance minimale de 2 640 km : la distance au centre de Mercure varie, l'orbite est une ellipse allongée et non un cercle.
Pièges et conseils
Trois réflexes évitent l'essentiel des erreurs. D'abord, convertir toutes les distances en mètres et les durées en secondes avant d'utiliser une constante exprimée en unités SI. Ensuite, utiliser la distance entre les centres, RM + h, et non l'altitude seule. Enfin, ne pas réutiliser la constante k du Système solaire pour un satellite de Mercure : elle dépend de l'astre attracteur. Pensez aussi à énoncer les lois avec précision, référentiel compris : ces questions de cours rapportent des points sûrs.